阜宁县2025届高三最后一模数学试题含解析

这是一份阜宁县2025届高三最后一模数学试题含解析，共3页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
3．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．4C．2D．
4．（ ）
A．B．C．D．
5．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．
6．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则或
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
8．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有 15000 户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户
10．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
14．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．
15．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．在平面五边形中，，，，且.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
18．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？
（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
19．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值．
20．（12分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
21．（12分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（1）求的值；
（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
22．（10分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
2．D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
3．A
【解析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
4．D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
5．D
【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为,故选D．
6．A
【解析】
根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．
【详解】
因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，当时，，所以可变形为．
令，则，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以
当时，，故，解得．
故选：A．
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7．D
【解析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.
【详解】
选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；
选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；
选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；
选项D，若，，有可能，故D不正确.
故选：D
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.
8．D
【解析】
利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故.
又，故.
因为当时，函数是单调递减函数，
所以.
因为为偶函数，故，
所以.
故选：D.
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
9．D
【解析】
根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.
【详解】
解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，
该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．
故选：D.
本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.
10．A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
11．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
12．A
【解析】
首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.
【详解】
为等比数列，
若成立，有，
因为恒成立，
故可以推出且，
若成立，
当时，有，
当时，有，因为恒成立，所以有，
故可以推出，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有
解得，
故该圆锥的体积为。
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。
14．
【解析】
求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可
【详解】
则又
故切线方程为y=x+1
故答案为y=x+1
本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题
15．
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
16．
【解析】
设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，得到直线与的交点为几何体外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】
设的中心为，矩形的中心为，
过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，
则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，
取的中点，连接，，
由条件得，，连接，
因为，从而，
连接，则为所得几何体外接球的半径，
在直角中，由，，可得，
即外接球的半径为，
故所得几何体外接球的表面积为.
故答案为：.
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
又因为，所以
解得（舍）或
所以，即
（2）据（1）求解知，，
所以
所以
本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
18．（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，
【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.
(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.
②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.
【详解】
（1）由列联表可知,,因为,
所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.
（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有（人）,偶尔或不用信用卡的有（人）.
则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.
②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,
将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.
由题意得,
则,
,
,
.
故随机变量的分布列为：
故随机变量的数学期望为,方差为.
本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.
19． (1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.
【解析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，
得. 因为直线与曲线交于，两点．
所以，解得.
由根与系数的关系，得，.
因为点的直角坐标为，在直线上.所以，
解得，此时满足.且，故.．
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
20．（1），ξ的分布列为
（2）
【解析】
(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.
P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；
P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；
P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；
P(ξ＝3)＝·a2＝.
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.
21．（1）；（2）点在定直线上．
【解析】
（1）设出直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，解得；
（2）设出，运用导数求得切线的斜率，求得为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得在定直线上；
【详解】
解：（1）依题意设直线的方程为，
由已知得：圆的圆心，半径，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
即，解得或（舍去）．
所以；
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为．
令，，即交轴于点坐标为，
所以， ，
，
．
设点坐标为，则，
所以点在定直线上．
本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题．
22．特征值为1，特征向量为．
【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】
设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.
经常使用信用卡
偶尔或不用信用卡
合计
40岁及以下
15
35
50
40岁以上
20
30
50
合计
35
65
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
3
ξ
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)
ξ
0
1
2
3
P
(1－a)2
(1－a2)
(2a－a2)