2025年富顺县高三第四次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2025年富顺县高三第四次模拟考试数学试卷含解析，共42页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若复数，已知双曲线满足以下条件，明代数学家程大位等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ）
A．B．C．D．
2．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若平面向量，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）
A．B．4C．2D．
7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
9．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
10．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）
A．2或B．3或C．4或D．5或
12．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（ ）
A．B．C．D．大小关系不能确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，的系数为________．
14．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．
15．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.
16．已知，，且，则最小值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.
（2）若函数在区间上不单调，证明：.
18．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．
20．（12分）如图，在中，，，点在线段上.
（1）若，求的长；
（2）若，，求的面积.
21．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；
（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：点E是中点，点F是中点
，
所以
又
所以
则
故选：C
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.
2．D
【解析】
根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，即．
则直线的斜率．
故选：D．
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
3．A
【解析】
将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
4．C
【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【详解】
由题意可得：
，
，
，
故选：C
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
5．D
【解析】
由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.
【详解】
因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.
故选：D
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
6．D
【解析】
由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．
【详解】
，．
故选：D．
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
7．B
【解析】
由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【详解】
解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴

又∵AM＝1
∴
∴
故选B．
判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．
8．C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
9．B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
10．C
【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】
，；，；，；
，；，此时不满足，跳出循环，
输出结果为，由题意，得．
故选:
本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.
11．C
【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以，，即，
所以直线的方程为.当直线的方程为，
联立，解得和，所以；
同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
12．B
【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．
【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：，
于是此点取自阴影部分的概率为．
又，故．
故选B．
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.
【详解】
的展开式中，
所求项为：，
的系数为.
故答案为:.
本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.
14．
【解析】
由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求
【详解】
由，得，解得.
因为，所以，，
所以.
又因为，所以.
因为，所以.
故答案为
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题
15．
【解析】
先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.
【详解】
解：若取最小值，则异号，，
根据题意得：，
又由，即有，
则，
即的最小值为，
故答案为：
本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.
16．
【解析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析
【解析】
（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.
（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.
【详解】
（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；
由解得为减区间.
下面证明函数只有一个零点：
∵，所以函数在区间内有零点，
∵，函数在区间上没有零点，
故函数只有一个零点.
（2）证明：函数，则
当时，，不符合题意；
当时，令，
则，所以在上单调增函数，而，
又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，
且，即
两边取自然对数，得即，
要证，即证，
先证明：，令，则
∴在上单调递增，即，∴①
在①中令，∴
令∴，即
即，∴.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
18．（1）当时，在上增；当时，在上减，在上增（2）
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，确定单调区间；
（2）题意说明,利用导数求出的最小值，由（1）可得的最小值，从而得出结论．
【详解】
解：（1）定义域为
当时，即在上增；
当时，即得得
综上所述，当时，在上增；
当时，在上减，在上增
（2）由题
在上增
由（1）当时，在上增，所以此时无最小值；
当时，在上减，在上增，
即，解得
综上
本题考查用导数求函数的单调区间，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想，本题恒成立问题转化为，求出两函数的最小值后可得结论．
19．（Ⅰ）（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；
（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）由题可得，即，，
将点代入方程得，即，解得，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设直线，则直线，
联立，整理得，
所以，
联立，整理得，
设，则，
所以，
所以．
本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.
20．（1）（2）
【解析】
（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；
（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．
【详解】
（1）由，得，所以.
由正弦定理得，，即，得.
（2）由正弦定理，在中，，①
在中，，②
又，，，
由得，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
21．（2），（2），的最大整数是2．（3）存在，
【解析】
（2）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为2，因为，，为等比数列，所以，化简计算得，，从而得到数列的通项公式，再计算出 ，，，从而可求出数列的通项公式；
（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；
（3）由题意可知，，
即，这个可看成一个数列的前项和，再写出其前（）项和，两式相减得，，利用同样的方法可得.
【详解】
解：（2）由题，当时，，即
当时， ① ②
①-②得，整理得，又因为各项均为正数的数列．
故是从第二项的等差数列，公差为2．
又恰为等比数列的前3项，
故，解得．又，
故，因为也成立．
故是以为首项，2为公差的等差数列．故．
即2，4，8恰为等比数列的前3项，故是以为首项，公比为的等比数列，
故．综上，
（2）令，则


所以数列是递增的，
若对均满足，只要的最小值大于即可
因为的最小值为，
所以，所以的最大整数是2．
（3）由，得
，
③
④
③-④得， ⑤，
⑥
⑤-⑥得，，
所以存在这样的数列，
此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
22． (1) (2)见证明
【解析】
（1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；
（2） 利用绝对值不等式的性质进行证明.
【详解】
（1）解：当时，不等式可化为.
当时，，，所以；
当时，，.
所以不等式的解集是.
（2）证明：由，，得，，
，
又，
所以，即.
本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.