2025年天门市高考数学二模试卷含解析

这是一份2025年天门市高考数学二模试卷含解析，共5页。试卷主要包含了设复数满足，已知满足，则，已知是等差数列的前项和，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
2．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
4．若（是虚数单位），则的值为（ ）
A．3B．5C．D．
5．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
9．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
10．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）
A．月收入的极差为60B．7月份的利润最大
C．这12个月利润的中位数与众数均为30D．这一年的总利润超过400万元
11．在四面体中，为正三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．24D．
12．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.（填上所有正确答案的序号）
①，，；
②，，；
③，，；
④，，.
14．已知多项式满足，则_________，__________．
15．能说明“在数列中，若对于任意的，，则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.（写出数列的通项公式）
16．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（12分）在中，内角的对边分别是，已知.
（1）求角的值；
（2）若，，求的面积．
19．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
20．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上上一点，且点的横坐标为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于、两点，过点且与直线垂直的直线与准线交于点，设的中点为，若、、四点共圆，求直线的方程.
22．（10分）已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时的值；
（3）问当θ为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值
【详解】
解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，
设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，
所以x＝2a，则EF2＝2a，
由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，
所以c2＝7a2，
则e
故选：D．
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.
2．B
【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入，不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数不成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
成立，跳出循环，输出i的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
根据复数z满足，利用复数的除法求得，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z满足，
所以，
所以z的虚部为.
故选：D.
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．D
【解析】
直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可.
【详解】
（是虚数单位）
可得
解得
本题正确选项：
本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.
5．D
【解析】
先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.
【详解】
解：由，得，
所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限
故选：D
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
6．A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
7．A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
8．D
【解析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】
解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
9．B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
10．D
【解析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由图可知月收入的极差为，故选项A正确；
1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；
易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.
故选：.
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.
11．A
【解析】
推导出，分别取的中点,连结，则，推导出，从而，进而四面体的体积为，由此能求出结果.
【详解】
解： 在四面体中，为等边三角形，边长为6，
，，，
，
，
分别取的中点，连结，
则，
且，，
，
，
平面，平面，
，
四面体的体积为：
.
故答案为：.
本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.
12．A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①②④
【解析】
由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对①，③，④都可以采用此法判断，对②分析式子特点可知，，进而判断
【详解】
①时，令，则，单调递增， ，即.令，则，单调递减，，即，因此，满足题意.
②时，易知，满足题意.
③注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为，易知，，因此不存在直线满足题意.
④时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，，因此切线为.
令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.
令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.
因此，满足题意.
故答案为：①②④
本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题
14．
【解析】
∵多项式 满足
∴令，得，则
∴
∴该多项式的一次项系数为
∴
∴
∴
令，得
故答案为5，72
15．答案不唯一，如
【解析】
根据等差数列的性质可得到满足条件的数列.
【详解】
由题意知，不妨设，
则，
很明显为递减数列，说明原命题是假命题.
所以，答案不唯一，符合条件即可.
本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.
16．
【解析】
由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．
【详解】
由三视图还原原几何体如下图所示：
该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，
则该几何体的体积为，
，，
因此，该棱锥的最长棱的长度为.
故答案为：；.
本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）取的中点，连接、，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值.
【详解】
（1）取中点，连接、、，
且，四边形为平行四边形，且，
、分别为、中点，且，
则四边形为平行四边形，且，
且，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
设平面的法向量为，
由，得，取，则，，，
，，
因此，二面角的正弦值为.
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）由已知条件和正弦定理进行边角互化得，再根据余弦定理可求得值.
（2）由正弦定理得，，代入得，运用三角形的面积公式可求得其值.
【详解】
（1）由及正弦定理得，即
由余弦定理得，，.
（2）设外接圆的半径为，则由正弦定理得，
，，
.
本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题.
19．（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
【解析】
（1）设米，总费用为，解即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.
【详解】
（1）由题意知:矩形面积米，
设米，则米，由题意知:，得，
设总费用为，
则，
解得:，又，故，
所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，
①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；
③时，时，，递减；时，递增，
因此，即时，发酵馆的占地面积最小；
综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；
（2）由题意可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.
【详解】
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、．
则，，
．
故的分布列为
本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线的定义可得，即可求出，从而得到抛物线方程；
（2）设直线的方程为，代入，得.
设，，列出韦达定理，表示出中点的坐标，若、、、四点共圆，再结合，得，则即可求出参数，从而得解；
【详解】
解：（1）由抛物线定义，得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，代入，得.
设，，则，.
由，，得
，
所以.
因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，则直线的方程为.
由解得.
若、、、四点共圆，再结合，得，
则，解得，
所以直线的方程为.
本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.
22．（1）（2），的最小值为.（3）时，面积取最小值为
【解析】
（1）,利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式；,,则,即可得到的范围；
（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解；
（3）由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.
【详解】
解:（1）,
故.
因为,所以，,
所以,
又,,则,所以,
所以
（2）记,
则,
设,,则,
记,则,
令,则,
当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当时取最小值,此时,的最小值为.
（3）的面积,
所以,设,则,
设,则,令,,
所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当,即时,面积取最小值为
本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.