湖南省岳阳市华容县2024-2025学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份湖南省岳阳市华容县2024-2025学年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了在一个数列中，如果，都有，已知的共轭复数是，且等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为
A．B．
C．D．
2．的内角的对边分别为，若，则内角（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中，满足的的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
4．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）
A．B．C．D．
5． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )
A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大
B．这五年，2015年出口额最少
C．这五年，2019年进口增速最快
D．这五年，出口增速前四年逐年下降
6．在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，，公积为，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
9．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( )
A．B．C．D．
10．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题:
①;
② 直线与直线所成角为;
③ 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;
④ 三棱锥的体积为.
其中，正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
12．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是偶函数，则的最小值为___________.
14．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.
15．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.
16．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，，若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则的值为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知，若，，，求的面积.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.
21．（12分）设函数，是函数的导数.
（1）若，证明在区间上没有零点；
（2）在上恒成立，求的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.
【详解】
画出所表示的区域，易知，
所以的面积为，
满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，
由几何概型的公式可得其概率为，
故选A项.
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
2．C
【解析】
由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．
【详解】
∵，由正弦定理可得，
∴，
三角形中，∴，∴．
故选：C．
本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．
3．B
【解析】
，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．
【详解】
当时，的展开式中的系数为
．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．
故选：B．
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
4．B
【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,
故选：B.
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
5．D
【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.
【详解】
对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；
对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；
对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；
对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；
故选：D
本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.
6．B
【解析】
计算出的值，推导出，再由，结合数列的周期性可求得数列的前项和.
【详解】
由题意可知，则对任意的，，则，，
由，得，，，
，因此，.
故选：B.
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．B
【解析】
把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．
【详解】
由题意，，或，，
不妨取或，
若，则函数为，四个选项都不合题意，
若，则函数为，只有时，，即是对称轴．
故选：B．
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
8．B
【解析】
试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．
9．C
【解析】
由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.
【详解】
由题意得，解得，所以，所以，
故选：C.
本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.
10．D
【解析】
设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】
设，
因为，所以，
所以，解得：，
所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
故选D
本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．
11．C
【解析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可．
【详解】
如图；
连接相关点的线段，为的中点，连接，因为是中点，可知，，可知平面，即可证明，所以①正确；
直线与直线所成角就是直线与直线所成角为；正确；
过，，三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形．所以③不正确；
如图：
三棱锥的体积为：
由条件易知F是GM中点，
所以,
而，
．所以三棱锥的体积为，④正确；
故选：．
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．
12．C
【解析】
设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．
【详解】
设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
∵ 直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，
又轴，∴可设点坐标为，
代入，解得，
又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，
∴.
故应选C.
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
由偶函数性质可得，解得，再结合基本不等式即可求解
【详解】
令得，所以，当且仅当时取等号.
故答案为：2
考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题
14．，
【解析】
根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.
【详解】
由是偶函数及，可取，
则，
由的图象关于点对称，得，，
即，，可取.
故，的一组值可以分别是，.
故答案为：，.
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
15．或
【解析】
设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.
【详解】
抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，
因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有
，化简整理得：
或.
若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；
若，所以有，因此.
故答案为：或
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.
16．1
【解析】
设，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得，由抛物线定义得焦点弦长，求得，再写出的垂直平分线方程，得，从而可得结论．
【详解】
抛物线的焦点坐标为，直线的方程为，
据得.设，
则.
线段垂直平分线方程为，令，则，所以，
所以.
故答案为：1．
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）
【解析】
（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；
（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所，两式相减，整理得，当时，，解得，
所以数列是首项和公比均为的等比数列，即，
因为，
整理得，
又因为，所以，所以，即，因为，所以数列是以首项和公差均为1的等差数列，所以；
（2）由（1）可知，，
，即.
此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.
18．（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；
（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）由，得，或，或，
，，
又，
，即.
①当时，即，则由，，得，则，此时，的面积为；
②当时，则，即，
则由，解得，，.
综上，的面积为.
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）； （2）.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范围，判断，为正，去掉绝对值，转化为在时恒成立,得到，，在恒成立，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
由，得，即，
或，即，
或，即，
综上：或，
所以不等式的解集为.
（2），，
因为，，
所以，
又，，，
得.
不等式恒成立，即在时恒成立，
不等式恒成立必须，，
解得.
所以，
解得，
结合，
所以，
即的取值范围为.
本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】
（1）在中，，，，
，，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）由题不妨设，设点，
联立，消去化简得，
且，，
，，，
∴代入，化简得，
化简得，
，，，
直线，因此，直线过定点.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
22．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；
（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.
【详解】
（1）
①当时，恒成立，
；
②当时，，即，
；
③当时，显然不成立，不合题意；
综上所述，不等式的解集为.
（2）由（1）知，
于是
由基本不等式可得 （当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）
上述三式相加可得
（当且仅当时取等号）
，
，故得证.
本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.