黑龙江省双鸭山市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省双鸭山市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则在复平面内对应的点在第（ ）象限.
A．四B．三C．二D．一
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b等于（ ）
A．B．C．4D．
3．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知飞机从A地按北偏东的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东的方向飞行到达C地，再从C地按西南方向飞行到达D地.则D地距A地（ ）
A．B．C．D．
7．若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．12
8．在中，分别为角所对的边，的面积为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，则是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数使得
11．在中，内角所对的边分别为，则（ ）
A．若，则
B．若为钝角，则
C．当时，若，且是钝角三角形，则
D．若，则满足条件的三角形有两个
三、填空题
12．在中，三边长分别为，，，则的面积为______.
13．已知中，是上的点，平分，且面积是面积的倍，，，则的长度为______．
14．在中，，，，在边上运动，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知向量满足，，若与的夹角为.
(1)求；
(2)；
16．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．
(1)用表示；
(2)如果，且，求．
17．在三角形中，，，分别为角，，所对的边，且三角形的内角均不为钝角，若向量，，且.
（1）求；
（2）若，且，求，的值.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求的大小；
(2)若，且的面积为，求的长度；
(3)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求.
参考答案及解析
1．A
解析：，则，
所以对应点为，在第四象限.
故选：A
2．B
解析：，，，
由正弦定理，
可得．
故选：．
3．C
解析：由题在上的投影向量为.
故选：C.
4．D
解析：由题意知，三点共线，故,
且共线，
故不妨设，则，
所以，解得，
故选：D
5．A
解析： 在中， 点D是边BC的中点， 所以，
所以，化简得，
则 .
故选：A
6．D
解析：以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，

由已知可得，为正三角形，，所以．
又，，则，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：D.
7．C
解析：因为是的边上的一点（不包含端点）且，
可得，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
8．B
解析：由得，
，
从而，又，
所以，，
，
．
故选：B.
9．ABD
解析：A.若，则，解得，故正确；
B.若，则，解得，故正确；
C.若，或，故错误；
D.若，则，解得，故正确，
故选：ABD
10．AD
解析：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；
对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；
对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.
故选：AD
11．ABD
解析：对A：由题意可得，又在上单调递减，
若，则，故A正确；
对B：若为钝角，则，故，
故，故B正确；
对C：由，则，故，
设，则，，，
故，
即，化简得，
则，又，有，则，故C错误；
对D：由余弦定理可得，
即，解得，
即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确.
故选：ABD.
12．3
解析：由余弦定理得，
所以,故面积为,
故答案为：3
13．
解析：
如图所示，设的三个内角对应的边分别为，
由题可知，平分，所以，即，
又面积是面积的2倍，所以，
由，所以，，
又，由余弦定理得，
又，所以．
14．
解析：因为，所以.
设，已知在边上运动，，则. 且，，
所以，.
所以，对称轴为，
当时，取得最小值为.
故答案为：
15．(1)2
(2)
解析：（1）
故答案为:2.
（2）
故答案为：.
16．(1)
(2)
解析：（1）因为，
所以，
；
（2）因为，所以，
所以，由，可得，
又，所以，
所以．
17．（1）；（2），或，.
解析：（1）∵，∴，由正弦定理得，
∵，∴，∴锐角.
（2）当时，由余弦定理，得.
解得：，即，或，.
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由及正弦定理，得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以，即；
（2）由的面积为，得，
，，
又因为，，，，，，
在中，由余弦定理，得，
所以．
（3）法一：由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为为锐角三角形，
，即，解得：，
.
法二：，
因为为锐角三角形，
，，，
，.
19．(1)
(2)
解析：（1）由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由
得：，整理得，
则