2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数11−3i的虚部是( )
A. −310B. −110C. 110D. 310
2.AB−AC+CD+DB=( )
A. 2BCB. 2CBC. 2ADD. 2CD
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为ab8sinC，则C=( )
A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π3
4.已知复数a−i1+2i是纯虚数，则实数a=( )
A. −1B. 35C. 2D. −2
5.设复数z满足(1+i)z=2i，则z的共轭复数z=( )
A. −1−iB. −1−iC. 1+iD. 1−i
6.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2.根据此公式，若acsB+(b−2c)csA=0，且b2+c2−a2=4，则△ABC的面积为( )
A. 6B. 2 3C. 3D. 3 2
7.在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2BD=DC，且BE=xAB+yAC，则x+y=( )
A. −23B. −12C. 13D. −13
8.设O为△ABC所在平面内一点，满足2OA−7OB−3OC=0，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为( )
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=2−3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. z的共轭复数为−2−3iD. 若z(m+4i)是纯虚数，则m=−6
10.已知圆O半径为2，弦AB=2，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅BO=2
B. AB⋅AC的最大值为6
C. |OC−AB+AO|∈[0,4]
D. 若OB+OC=0，|AC|=2 3
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的有( )
A. 若acsA=bcsB=ccsC，则△ABC一定是等边三角形
B. 若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
C. 若bcsC+ccsB=b，则△ABC一定是等腰三角形
D. 若a2+b212.引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，规定m⊗n=x1x2−y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有( )
A. a⊗b=b⊗aB. (λa)⊗b=λ(a⊗b)
C. a⋅(b⊗c)=(a⊗b)⋅cD. |a|⋅|b|≥|a⊗b|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知2i1−i=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，则|a−bi|=______．
14.已知三点A，B，C，则“存在实数λ，使得AB=λAC”是“A，B，C三点共线”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
15.已知△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b)2−c2=6且C=60°，则△ABC的面积S= ______．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acsB=c−a.当2c+6ab取最小值时，则A= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(3,1),b=(−32,k)，求k为何值时：
(1)a⊥b；
(2)a与b的夹角为钝角．
18.(本小题12分)
一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2 3−2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？
19.(本小题12分)
已知a=(−1,0)，b=(2,1)．
(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．
(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
20.(本小题12分)
已知a，b，c，分别为△ABC内角A，B，C，的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①csB=− 63；②cs2A+2cs2A2=1；③a= 6；④b=2 2．
(Ⅰ)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(Ⅱ)在(Ⅰ)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积．
21.(本小题12分)
如图，已知点G是边长为1的正三角形ABC的中心，线段DE经过点G，并绕点G转动，分别交边AB，AC于点D，E，设AD=mAB,AE=nAC，其中0(1)求1m+1n的值；
(2)求△ADE面积的最小值，并指出相应的m，n的值．
22.(本小题12分)
锐角△ABC的三个内角是A、B、C，满足(sin2B+sin2C−sin2A)= 3sinBsinC．
(1)求角A的大小及角B的取值范围；
(2)若△ABC的外接圆圆心为O，且a=1，求AO⋅(AB+AC)的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.ABD
13. 2
14.充要
15. 32
16.π4
17.解：(1)由a⊥b可得−92+k=0，所以k=92．
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以a⋅b<0且a,b不共线，即−92+k<03k+32≠0，
解得k<92且k≠−12，
所以k∈(−∞,−12)∪(−12,92)．
18.解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC=180°−75°+15°=120°，AB=2 3−2，BC=4，
根据余弦定理得
AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cs∠ABC
=(2 3−2)2+42+(2 3−2)×4=24，
所以AC=2 6nmile．
(2)根据正弦定理得，BCsin∠BAC=ACsin∠ABC，
故sin∠BAC=4× 322 6= 22，
∴∠CAB=45°．
19.(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，
则可得AB//BC，
即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；
(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，
则ka−b=(−k−2,−1)，a+2b=(3,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，
则可得3(−k−2)+2×(−1)=0，解得k=−83．
20.解：(I)由①csB=− 63可得，2π3由②cs2A+2cs2A2=1可得2cs2A+csA−1=0，
解可得，csA=−1(舍)或csA=12，
由A为三角形的内角可得A=13π，
①②不能同时成立，
所以满足有解三角形的序号组合有①③④或②③④，
(Ⅱ)选择①③④，由余弦定理可得，b2=a2+c2−ac，
所以8=6+c2+2 6c× 63，即c2+4c−2=0，
解可得，c= 6−2，
S△ABC=12acsinB= 3− 2，
选②③④，由余弦定理可得，a2=b2+c2−2bccsA，
∴6=8+c2−2 2c，
解可得，c= 2，
S△ABC=12bcsinA=12×2 2× 2× 32= 3．
21.解：(1)延长AG交BC与F，由G是正三角形ABC的中心，得F为BC的中点，

则AG=23AF，由AF=12AB+12AC，AD=mAB,AE=nAC，
得AG=13mAD+13nAE，又D，G，E三点共线，
所以13m+13n=1，即1m+1n=3；
(2)△ABC是边长为1的正三角形，则|AD|=m，|AE|=n，
S△ADE=12⋅m⋅n⋅ 32= 34mn，
由1m+1n=3，则n=m3m−1，
0S△ADE= 34mn= 34⋅m23m−1= 312⋅m2m−13，
设t=m−13，则m=t+13(16≤t≤23)，
则S△ADE= 312(t+19t+23)≥ 312(2 t⋅19t+23)= 39，
当且仅当t=19t，即t=13时取等号，
所以当t=13，即m=n=23时，S△ADE取得最小值 39．
22.解：(1)设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
因为(sin2B+sin2C−sin2A)= 3sinBsinC，
由正弦定理得(b2+c2−a2)= 3bc，所以b2+c2−a22bc= 32，
即csA= 32，又A∈[0,π]，所以A=π6，
因为△ABC为锐角三角形，则0解得π3(2)设△ABC的外接圆半径为R，则|OA|=|OB|=|OC|=R，
因为A=π6，a=1，由正弦定理得，asinA=2R=112=2，解得R=1，
设∠AOC=θ，则θ=2B∈(2π3,π)，∠AOB=2π−∠BOC−∠AOC=2π−2∠BAC−θ=5π3−θ，
所以OA⋅(AB+AC)=OA⋅[(OB−OA)+(OC−OA)]=OA⋅OB+OA⋅OC−2OA2
=1×1×cs(5π3−θ)+1×1×csθ−2×12=12csθ− 32sinθ+csθ−2
=32csθ− 32sinθ−2= 3cs(θ+π6)−2，
因为θ∈(2π3,π)，所以5π6<θ+π6<7π6，
所以−1≤cs(θ+π6)<− 32，
所以−(2+ 3)≤OA⋅(AB+AC)<−72，
所以AO⋅(AB+AC)=−OA⋅(AB+AC)∈(72,2+ 3],
即OA⋅(AB+AC)的取值范围是(72,2+ 3]．