浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试卷含解析（word版）

这是一份浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试卷含解析（word版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
2. 复数 满足 ,则
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,所以 .
3.已知 是两个单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为向量 在向量 上的投影向量为 是两个单位向量,所以 ,所以 ,又 ,所以 .
4.已知 为两个随机事件, ,则下列结论错误的是
A. 若 ,则 B. 若 独立,则
C. 若 互斥,则 D. 若 独立,则
【答案】D
【解析】对于 选项: 若 ,则 ,因此 ,该结论正确.
对于 选项:若 为独立事件，根据独立事件的乘法公式，交事件的概率
,该结论正确.
对于 选项:若 互斥，说明 ，根据概率的加法公式， . 4 + 0.5 = 0.9 该结论正确.
对于 选项:若 独立，根据概率的加法公式， . 因为 ,所以该结论错误.
5.若函数 是奇函数，则
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ,即 ,得 ,
所以 ,则 .
6.古生物学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间. 当生物体生存时，其体内的碳 14 含量会保持在一定的水平，设为 . 当生物体死亡后，碳 14 会发生衰变，且碳 14 含量 随时间 (单位: 年)的变化规律满足 ,其中 是衰变常数. 已知碳 14 的半衰期约为 5730 年,即每经过 5730 年, 碳 14 含量就会变为原来的 . 现古生物学家发现一个古生物化石, 经测量该古生物化石碳 14 含量为 . 由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间(单位:年)的大致范围是( )
(参考数据: )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意, ,得 ,
两边同时取对数得, ,解得 ,则 ,
令 ,得 ,两边同时取对数得, ,
所以 .
7.已知 中， ，则 的值为
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】由 可得, 点轨迹是以 为焦点的一条双曲线,
如图所示，设双曲线的实轴长为 ，虚轴长为 ，焦距为 .
设 的内心为 ，过点 向三边作垂线，垂足分别为 ， ， ，
根据三角形内心的性质可知， ， ， ，
又因为双曲线 以 为焦点,且经过点 ,
所以 ，即 ，
因为 ,所以 ,所以 ,
所以点 在双曲线的左支上,所以 .
而 ,
所以 ,
所以 为双曲线的左顶点.
所以 ,
所以 ,即 .
由正弦定理可得， .
8.设 ,从所有函数 中随机选取一个,则 满足 为定值的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ,则 有 6 种取法,而 ,除 外的其他数值可以按照映射到 的步数分成两组:
第一组, 直接通过法则 映射到
第二组, ,先通过法则 映射到 ,再通过法则 映射到
共有
概率为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知正四棱台 中， ，则下述正确的是( )
A. 该四棱台的高为
B.
C. 该四棱台的表面积为
D. 该四棱台外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】对于 ,如图,连接 交于点 ,连接 交于点 ,连接 ,
则在正四棱台 中有 ，
可得 平面 ,故 为四棱台的高,
由 平面 ,所以 ,
过点 作 交 于 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 ,
在正四棱台 中,由 ,
所以 ,则 ,
则 ,
在直角三角形 中， ，
得到四棱台的高为 ，故 A 正确；
对于 ,如图,以 为原点,建立空间直角坐标系,
则 ,
可得 ，
而 ,得到 不成立,故 B 错误,
对于 ,由题意得该四棱台的表面积拆分如下,
①正四棱台的上下两个正方形的面积:
设上下两个面的面积分别为 ,则 ,
②正四棱台的侧面积，在等腰梯形 中，如图所示:
过 分别作 垂直于 交 于点 ,
所以 ,又 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 ,所以 ,
则 ,
所以等腰梯形 的面积如下,
为 ,
所以正四棱台的侧面积为 ,
得到四棱台的表面积为 ，故 正确，
对于 ,设外接球的方程 ,
将 代入方程,得到 ,
将 代入方程,得到 ,
两式相减得 ,解得 ,
此时 变为 ,
将 代入方程,得到 ,
两式相减可得 ,解得 ,
此时 变为 ,
将 代入方程,得到 ,
两式相减得 ,解得 ,则 ,
由球的表面积公式得表面积为 ,故 正确.
10.设 为坐标原点,抛物线 的焦点为 ,过 的直线交 于 两点, 在第一象限,过 作直线 的垂线,垂足分别为 ,则
A.
B. 若 ,则
C. 若 ,则直线 的斜率为
D. 的面积最小值为
【答案】ABD
【解析】设直线 的方程为 ,与抛物线 联立: ,
,设 ,
由韦达定理得 .
因为 是 到准线 的垂足,所以 .
向量 .
对于选项 ,因为 ,且 ,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于选项 B: 是 到准线 的垂足,所以 .
若 ,则有
所以 ,
又因为 ,代入上式可得: ,解得: ,则 .
因此 点坐标为 ,所以 正确.
对于选项 C:
由 得: ,即: ,
联立: ,消 可得: 则 ,
所以 ,即 ,代入化简可得: 即
解得 ,即 .
直线 过焦点 ,所以 ,因此 错误.
对于选项 D: ,
所以
由 得 ,又 ,
所以 ,则 ,所以
将 和 代入面积公式:
令 ,则 ,代入得:
令 ,解得 (舍去 ),即 .
此时 ,所以
因此, 的面积最小值为 正确.
11.在 中,角 所对的边分别为 ,下列说法正确的有
A. 若 为锐角三角形,则
B. 若 为钝角三角形,则
C. 存在 ,满足 且
D. 若 ,则 成等差数列
【答案】ABD
【解析】A 选项: 因为 为锐角三角形,所以 ,即 .
由于 均为锐角,正弦函数在 上单调递增,所以 .
同理可得, .
将两不等式相加,得到 ,故 选项正确.
B 选项:
法一:不妨 A 为锐角， ，由 A 选项， ，故
法二: 运用降幂公式和和差化积公式化简:
因为 为钝角三角形,所以三个角中必定有且只有一个钝角,另外两个为锐角. 因此
.
从而推导出 ,即 ,故 选项正确.
C 选项: 假设存在,则 ,熟知 ,则 ,
则 ,矛盾.
D 选项: 由 ,得 ,故 。
代入已知条件:
又 ,代入得:
因 ,故 ,则:
两边同乘 ,得 ,
左边积化和差得 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 ________.
【答案】36
【解析】由于 ,则
.
13.某学校有男生 400 人，女生 600 人. 为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为 2.5 小时，方差为 1 ，女生每天体育锻炼时间为 1 小时，方差为 2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为_______.
【答案】2.14
【解析】由题意,总体的均值为 ,
根据分层抽样的性质, 则总体的方差为
14.已知正四面体 的棱长为 1,在 的内切圆上有一动点 ， 的内切圆上有一动点 ， 则 的最大值为________.
【答案】
【解析】如图将正四面体补形成长方体, 在正方体的内切球上,此时距离最大值为球的直径,当 为 中点,当 为 中点时取到.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况, 用来研究这两者是否有关. 若从该班级中随机抽取 1 名学生，设 “抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”， “抽取的学生建立了个性化错题本”,且 .
(1)求 和 .
(2)若该班级共有 36 名学生，请完成列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关.
参考公式及数据: .
【解析】(1) 因为 ,
所以 ,
由于 ,解得 ,所以 .
,解得 .
(2)
零假设为 ; 期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关 .
根据列联表中的数据,经计算得到
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于 0.005 .
16.在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的取值范围；
(2)若 ，求 的值.
【解析】(1) 由正弦定理可知 .
则 ,
又 所以 ;
(2)不妨设 ，而 .
易知 ,
所以 ,
.
17.已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式，并求使 的最大正整数 ；
(2)设 为数列 的前 项和.
(i) 求 ;
(ii) 若对任意正整数 恒成立,求实数 的最小值.
【解析】
由 得: 当 时, ;
当 时， .
验证 也满足 ,故通项公式为 .
解不等式 ,即 ,得 ,
所以满足条件的正整数 ,其中最大的 ,即 .
(2)(i)由 得: ，则
(2)(ii)由 知 递增，
当 时， ，有 ,
求和: .
再加上前 4 项: ,
因此对所有 ,有 ,且 ,
条件 对任意正整数 恒成立,等价于 ,
故满足条件的 最小值为 27 .
18.已知函数 ( 为自然对数的底数, )
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 的最小值；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
( 表示不超过实数 的最大整数)
【解析】(1) ,

在 处的切线方程是 .
(2)在 上， ， 单减在 上， ， 单增； .
(3)当 ,而 ,此时恒成立 .
当 时,而 ,此时不成立 .
当 时, ,此时恒成立 .
时, ,此时恒成立 .
下证: 时, 恒成立.
令 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,
综上 .
19.已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，左右顶点分别为 ，且 ，点 在第二象限.
(1)求椭圆 的方程；
(2)当 在 上时,直线 与圆 交于点 (点 在第一象限), 求 与 的面积之比的取值范围;
(3)当 时，过点 的直线交 于点 (点 在第二象限，点 的纵坐标小于( 0 )，直线 与 交于点 ,求直线 与直线 斜率之差的最小值.
【解析】 (1) 由题意,得 ,即
椭圆的方程为 .
(2)先证: 、 、 三点共线
当直线 PF 的斜率不存在时, 与 重合,满足条件;
设直线 的斜率存在时,设直线
直线 PF 与直线 I 的交点为 ,由 得, ,
从而 ,
将 代入得 ,
由于 点在第一象限知， 与 重合
所以 三点共线,
因为 ,且 , 所以 .
(3)延长 AT 与椭圆交于点 R，下证:D，O，R 三点共线
设 ,则
CD 的直线方程为:
直线 DO 交椭圆于点 则
联立直线 与 解得
要证 三点共线,即证 ,即证
代入化简得: 即证
联立直线 与椭圆
得
从而 ,证毕 .
由椭圆第三定义知 ，从而 ，当且仅当 取等号.
所以直线 AT 与直线 AD 斜率之差的最小值为 .个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
20
4
24
未建立
4
8
12
合计
24
12
36