天域全国名校协作体2026届高三下学期4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份天域全国名校协作体2026届高三下学期4月联考数学试卷含解析（word版+pdf版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,所以 .
2. 已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】由 ,所以 .
3.在 中，若 ，则
A. 30° B. 120° C. 135° D. 150°
【答案】B
【解析】由 .
4.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形,图中四边形 的对角线相交于点 ,已知 ，则
A. 1 B. -1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】建立平面直角坐标系: 以 为原点, 所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴,则 ,所以 .
5.将椭圆 的长轴 分成 6 等份,过每个分点作 轴的垂线,交椭圆的上半部分于 , 五点, 是椭圆的右焦点. 若 ,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,所以.
6.已知 ,则
A. -3 B. 3C. D.
【答案】D
【解析】.
7.已知函数 ,若 且 ,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 可得 ,得 .
则令 ,
令 可得 ,即 时 递减; 时 递增.
则 .
8.已知集合 ，现随机选取 中 5 个元素构成子集，记该子集中的最小数为 ，则随机变量 的数学期望是
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由题可知 ,的取法共有 种.
若最小数为 ,则意味着从比 大的数字中选出剩下的四个数,即 .
则可得到 ,
综上, .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.如果 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】BD
【解析】A 选项: 若 ,则 ,故 A 错误;
B 选项: 由于 恒成立,因此 ,故 B 正确;
C 选项: 若 ,则 ,故 C 错误;
D 选项: 作差得 ,故 D 正确.
10.已知四棱锥 中， 为 的中点， 平面 ， 平面 ， ，且 ,则下列结论正确的有
A. 平面
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为 2
D. 直线 与平面 所成角的余弦值为
【答案】BCD
【解析】如图,以 为基底建系.
A 选项: 取 中点 ,易知 ,因此 平面 ,故 A 正确;
B 选项: 易知 ，故平面 的法向量为 ；易知 ， ，故平面 的法向量为 ， ，故 正确；
C 选项: ,故 错误;
D 选项: ,平面 的法向量为 ,因此 , 故 正确.
11.在平面直角坐标系中, 为坐标原点. 在曲线 上取点 满足 , ,设直线 的斜率为 ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】即 .
对于 A 项: 设 ,注意到 与显然 在 上递增,故 , 故 正确;
对于 项: ,设 ,故 在 上递增,在 中知 递增,故 ,即 ,故 正确;
对于C项： ,注意到 ,
恒成立,故 在 上下凸,由 Jensen 不等式
取等,而 严格递增,故等号取不到,由 在 上递增知 ,所以 ,故 错误;
对于 项: ,分析法: ,即 ,由 知 ,由 知正确,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等比数列 的公比为 ,若 ,则 ________.
【答案】
【解析】 .
13.若在 的二项展开式中， 项的系数为 5，则实数 _______.
【答案】1
【解析】由题可知 ,故 .
14.已知 为抛物线 的焦点， 为 上的动点，过点 的直线与 相交于 ， 两点，记线段 的中点为 ，则 的最小值为________.
【答案】5
【解析】设 ,则 ,
又 ,
即 轨迹为: ,顶点 ,
又 恒成立 ,所以 轨迹恒在 上方,
作 准线, .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了 100 名, 统计他们的成绩 (满分 100 分), 其中成绩不低于 80 分的学生被评为 “航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第 85 百分位数和平均数;
(2)若在抽取的 100 名学生中, 利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于 60 分的学生中随机抽取 8 人，再从 8 人中随机选择 3 人作为学生代表,设被选中的 “航天达人” 人数为随机变量 ,求 的分布列 .
【解析】(1)第 85 百分位数位于累计频率首次超过 0.85 的区间 ) 内
设第 85 百分位数为 ,则: , 2 分解得: 3 分
平均数=45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.20+95×0.10=72.5 5 分
答: 第 85 百分位数约为 87.5 分, 平均数为 72.5 分. 6 分
(2)非航天达人与航天达人人数比为 5:3 ，故从 8 人中抽取非航天达人 5 人，航天达人 3 人 8 分 的可能取值为0,1,2,3
. (每个概率 1 分) 12 分
所以随机变量 的分布列为
16.如图，四棱锥 中， ， ， ，底面 是边长为 6 的正方形.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 是 的中点， 是 的中点，点 满足 ，平面 与棱 交于点 ,求 的长度.
【解析】(1) 设 是 中点, , 平面 平面 , 2 分
又 平面 , 4 分
,
平面 平面 .7 分
(2)由(1)得直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
,则 ,设 ,
, 10 分
由点 平面 ,得 ,
即 ,则 ,
因此 .
17.已知函数 ,其中 且 .
(1)当 时，求 的极值点；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】
(1) .
令 ,得 . 当 时, . 2 分
当 时, ,所以 的单调递减区间为 .
当 时, 的单调递增区间为 .
所以 是极小值点,无极大值点 4 分
(2) ，令 ，得 6 分
又因为当 时, 单调递增,
所以当 时, 在区间 上单调递减,
当 时, 在区间 上单调递增 7 分
(3)依题 ， 恒成立，可得 8 分
令 ,则 且 单调递增,
,即 恒成立 9 分
① 当 时，
11 分
② 当 时， ，
由(2)当 时， 取得极小值，也是最小值 12 分
所以 的最小值为 ,其中 13 分
由 ,得 ,即 ,得到 ,
所以 .14 分
综上,实数 的取值范围是 . 15 分
18.已知 为坐标原点，点 是焦距为 4 的双曲线 上的三个点， ， 分别是线段 的中点, 是 的两条互相垂直的渐近线.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与 分别交于 和 ,求证: ;
(3)判断 的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明，若否，请说明理由.
【解析】(1)由 垂直 ，得 . 1 分
双曲线的焦距为 4 , 故 2 分
知双曲线 3 分
(2)易知 ，只需证明 为线段 中点， 5 分
当 斜率不存在时显然成立 6 分
一方面,当 斜率存在时,设 ,分别与 交于
和 ,则 中点坐标为 ; 8 分
另一方面,联立 与 ,
可知 , 结合韦达定理可知 10 分
综上可知, 为 中点,证毕.
(3)方法一:由对称性可知，若 外接圆过定点，则定点为坐标原点 ，
下面证明: 四点共圆 12 分
注意到, 和 中,至少有两条直线的斜率存在,不妨 的斜率存在,
设 14 分
由(2)知， ，则 . 16 分
故 ，即 ， ， ， 四点共圆 17 分
方法二: 由对称性可知,若 外接圆过定点,则定点为坐标原点 ,
下面证明: 四点共圆
分别是直角三角形斜边上的中点，
记，
可知
可知，
于是四点共圆．
19.已知函数 .
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 ，求 在 上的所有零点；
(3)若对于满足 的所有 ，都存在 使得 ，求正实数 的最小值.
【解析】(1) 时，
从而 3 分
的值域为 . 4 分
(2)当 时，
令 ,则有 ,
6 分
,同理
由于 在 上单调递减, . 8 分
,由于
在 上的零点为 10 分
(3)一方面，当 时，取 ，
则 不满足条件,故 ; 12 分
另一方面,当 时, ,而
,使得 .
,满足条件; 16 分
综上: 正实数 的最小值为 .17 分0
1
2
3