灌阳县2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份灌阳县2025届高三适应性调研考试数学试题含解析，共58页。试卷主要包含了已知函数满足=1，则等于，已知集合，则集合等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
3．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )
A．B．
C．3或D．或
4．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
5．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
6．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．-B．C．-D．
7．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
9．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )
A．B．C．D．
12．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.
14．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
15．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
16．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知，均为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
19．（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
20．（12分）已知函数
（1）若函数在处取得极值1，证明：
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.
（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；
（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；
（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.
22．（10分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点, 是上异于,的点, .
（1）证明:平面平面;
（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.
【详解】
因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，
所以
所以
故选：A
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
2．A
【解析】
求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【详解】
，
若，，
在单调递增，且，
在不存在零点；
若，，
在内有且只有一个零点，
.
故选:A.
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
3．D
【解析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.
【详解】
因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值；
当时，解得，所以是输入的x的值，
所以输入的x的值为 或3，
故选：D.
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.
4．A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
5．A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
6．C
【解析】
设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】
解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
.
故选：C.
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
7．D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
8．D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
9．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
10．D
【解析】
先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.
【详解】
当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
11．C
【解析】
利用先求出，然后计算出结果.
【详解】
根据题意，当时，,,
故当时，,
数列是等比数列,
则，故,
解得,
故选.
本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
12．A
【解析】
根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.
【详解】
五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，
故甲和乙恰好在同一组的概率是.
故选：A.
本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果.
【详解】
因为两两垂直且，
故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.
且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：
容易知外接球半径为.
设线段的中点为，
故可得
，
故当取得最大值时，取得最大值.
而当在同一个大圆上，且，
点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示：
此时，
故答案为：.
本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.
14．②③
【解析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.
15．
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
16．
【解析】
首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由于区间上的值小于0恒成立，
所以（）.
所以，
由于，所以，
由于，所以令得.
所以的取值范围是.
故答案为：
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）或； （2）.
【解析】
（1）利用绝对值的几何意义，将不等式，转化为不等式或或求解.
（2）根据-2在R上恒成立，由绝对值三角不等式求得的最小值即可.
【详解】
（1）原不等式等价于
或或，
解得：或，
∴不等式的解集为或.
（2）因为-2在R上恒成立，
而，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.
（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，
∴.
（2）.
当且仅当时取等号.
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；
（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.
【详解】
（1） 因为 ， ，
所以，
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以
，
所以，
故函数在区间上的值域为.
本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.
20．（1）证明见详解；（2）
【解析】
（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；
（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.
【详解】
解：（1）由题知，
∵函数在，处取得极值1，
，且，
，
，
令，则
为增函数，
，即成立.
（2）不等式恒成立，
即不等式恒成立，即恒成立，
令，则
令，则,
，，
在上单调递增，且，
有唯一零点，且，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
，
由整理得
，
令，则方程等价于
而在上恒大于零，
在上单调递增，
.
，
∴实数的取值范围为.
本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.
21．（1）元；（2）32家；（3）分布列见解析；
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；
（2）求出的频率即可；
（3）中的个数的所有可能取值为，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.
【详解】
（1）频率分布直方图销售额的平均值为
千元，
所以销售额的平均值为元；
（2）不低于元的有家
（3）销售额在的店铺有家，
销售额在的店铺有家.选取两家，
设销售额在的有家.则的所有可能取值为，，.
，，
所以的分布列为
数学期望
本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.
22．（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;
（2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值.
【详解】
解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.
在中，分别为的中点，所以，且.
于是在中， ，
所以为直角三角形，且.
因为，,所以.
因为，，，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，,
,,.
设平面的一个法向量为,
则即，取,得.
设平面的法向量,
则即，取,得.
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.