2025年四川省达州市高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A．-1B．1C．0D．2
2．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．B．C．D．
3．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
4．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
6． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
7．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．
A．B．C．1D．
9．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
11．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( )
A．②③B．②③④C．①④D．①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答），
14．在一底面半径和高都是的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的种子，则取出了带麦锈病种子的概率是_____．
15．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，E，F分别为，的中点，，则球O的体积为______.
16．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，若，，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
18．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2），，求实数的取值范围.
19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线和圆的普通方程；
（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.
20．（12分）在平面直角坐标系中，为直线上动点，过点作抛物线:的两条切线，，切点分别为，，为的中点.
（1）证明:轴；
（2）直线是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
21．（12分）设函数.
（1）解不等式；
（2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：.
22．（10分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．
（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；
（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．
（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；
（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
2．B
【解析】
由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.
3．C
【解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.
【详解】
函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中、是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4．A
【解析】
根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.
【详解】
由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，
则，
因为，
当的值可以为；
即有3个这种超级斐波那契数列，
故选：A.
本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.
5．D
【解析】
由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.
【详解】
依题意得
由，得
即，解得.
故选:.
本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.
6．D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
7．C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
8．B
【解析】
首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．
【详解】
解：根据三视图还原几何体如图所示，
所以，该四棱锥体的最长的棱长为．
故选：B．
本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
9．C
【解析】
如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：切点为，连接，作轴于，
，故，
在中，，故，故，，
根据勾股定理：，解得.
故选：.
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
10．B
【解析】
因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
，
又和的图象都关于对称，
由，
得，，
即，
又，
.
故选：B.
本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
11．B
【解析】
由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解
【详解】
由题意得，
因为，，
所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B
本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.
12．C
【解析】
根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】
根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；
若，，平面可能相交，故②错误；
若，，则可能平行，故③错误；
由线面垂直的性质可得，④正确；
故选：C
本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1080
【解析】
按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，然后用分步计数原理求解.
【详解】
将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，
再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，
则不同的分配方案有种.
故答案为：1080
本题主要考查分组分配问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
14．
【解析】
求解占圆柱形容器的的总容积的比例求解即可.
【详解】
解：由题意可得：取出了带麦锈病种子的概率．
故答案为：．
本题主要考查了体积类的几何概型问题,属于基础题.
15．
【解析】
可证，则为的外心，又则平面
即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得.
【详解】
解：，，
，因为为的中点，所以为的外心，
因为，所以点在内的投影为的外心，
所以平面，
平面
，
所以，
所以，
又球心在上，设，则，所以，所以球O体积，.
故答案为：
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．
16．127
【解析】
已知条件化简可化为,等式两边同时除以，则有 ，通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.
【详解】
由.
.
故答案为:.
本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）
【解析】
(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.
(2) 过作交于,由为的中点,结合已知有平面.
则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）证明：平面，平面，
,又四边形为正方形，
.
又、平面，且，
平面..
中，，为的中点，
.
又、平面，，
平面.
平面，平面平面.
（2）解：过作交于，如图
为的中点，，.
又平面，平面.
，.
所以,又、、两两互相垂直，以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，，
设平面的法向量，则
，即.
令，则，..
平面的一个法向量为
.
二面角的余弦值为.
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
当时，；
当时，.
函数的值域为；
（2）不等式等价于，
即在区间内有解
当时，，此时，，则；
当时，，
函数在区间上单调递增，当时，，则.
综上，实数的取值范围是.
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
19．（1），；（2）
【解析】
分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.
详解：（1）直线的参数方程为，
普通方程为，
将代入圆的极坐标方程中,
可得圆的普通方程为，
（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为 可得：
（*），
且由题意 ，,
.
因为方程（*）有两个不同的实根，所以，
即，
又，
所以.
因为，所以
所以.
点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；
（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；
（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.
20．（1）见解析（2）直线过定点.
【解析】
（1）设出两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出点坐标并代入切线的方程，同理将点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点的横坐标，由此判断出轴.
（2）求得点的纵坐标，由此求得点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点.
【详解】
（1）设切点，，，
∴切线的斜率为，切线：，
设，则有，化简得，
同理可的.
∴，是方程的两根，∴，，
，∴轴.
（2）∵，∴.
∵，∴直线：，即，
∴直线过定点.
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）采用零点分段法：、、，由此求解出不等式的解集；
（2）先根据绝对值不等式的几何意义求解出的值，然后利用基本不等式及其变形完成证明.
【详解】
（1）当时，不等式为，解得
当时，不等式为，解得
当时，不等式为，解得
∴原不等式的解集为
（2）
当且仅当即时取等号，
∴，∴
∵，∴，
∴（当且仅当时取“”）
同理可得，
∴
∴（当且仅当时取“”）
本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）常见的绝对值不等式解法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明时，注意说明取等号的条件.
22．（1） （2）（i）（ii）分布列见解析，
【解析】
（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；
（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；
（ii），利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.
【详解】
（1）甲从五所高校中任选2所，共有
共10种情况，
甲、乙、丙同学都选高校，共有四种情况，
甲同学选高校的概率为，
因此乙、丙两同学选高校的概率为,
因为每位同学彼此独立，
所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为．
（2）（i）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，
丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，
所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为．
（ii），
因此
，
．
即的分布列为
因此数学期望为
．
本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.
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