四川省达州市2025届高三上学期第一次诊断性测试月考数学试卷（解析版）

这是一份四川省达州市2025届高三上学期第一次诊断性测试月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了考试结束以后，将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的班级､姓名､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
3.考试结束以后，将答题卡收回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C
2. 以双曲线的右焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由得，，
故右焦点坐标为，离心率为，
∴圆的方程为.
故选：A.
3. 已知为直线的倾斜角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵为直线的倾斜角，
∴直线斜率，
∴.
故选：A.
4. 已知三个不同的平面，且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如图，在正方体中，记平面为平面，平面为平面，平面为平面，
则，，但平面 ，即由不能得到
由可得.
故时，是的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；
B.，故B成立；
C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立.
D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.
故选：C
6. 如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 直线与为异面直线D. 平面
【答案】D
【解析】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为，
A，，，，
，，
，所以与不垂直，故A错误；
B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误；
C.，，，，所以，则，故C错误；
D.，，，，，
，，，平面，所以平面，故D正确.
故选：D
7. 如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，连结，
圆锥底面圆的周长为，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为，
则，，
，
.
故选：D
8. 已知函数的图象关于原点对称，则下列叙述错误的是（ ）
A. B. 既有最小值也有最大值
C. 有3个零点D. 有2个极值点
【答案】B
【解析】设，，
因为函数是奇函数，则，
即，
所以，，所以，故A正确；
所以，
当时，，，
设，，
设，得，
当时，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，取得最小值，即恒成立，
所以单调递增，即单调递增，，，
所以存在，使，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，，则，，所以存在，使，且时，，
综上可知，当时，函数有一个极小值点，一个零点，无最大值，
因为函数是奇函数，所以时，函数有一个极大值点，一个零点，无最小值，
且，
所以函数有3个零点，2个极值点，无最大值也无最小值，所以B错误，CD正确.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ）
A.
B. 由散点图知变量和正相关
C. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为
D. 收益的方差为6
【答案】AB
【解析】A.，，故A正确；
B.散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确；
C. 经验回归直线必过样本点中心，当时，，故C错误；
D.收益的方差为，故D错误.
故选：AB
10. 为函数的导函数，记为，依次类推，，已知，数列的前项和为，则（ ）
A.
B.
C. 存在，使得在上单调递增
D.
【答案】AC
【解析】由题意可知，，，，，，，
所以数列的周期为4，，故A正确；
因为，且数列的周期为4，所以，故B错误；
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
当时，，为常数列，
所以存在时，在上单调递增，故C正确；
由C选项可知，当时，，值域为，不满足，故D错误.
故选：AC
11. 抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ）
A. 存在点使得点.都在以为圆心的圆上
B. 存在点使得点是的垂心
C. 存在点使得点是的重心
D. 点到直线的最短距离为4
【答案】BCD
【解析】A.由题意可知，三点共线，根据对称性可知，若存在点使得点.都在以为圆心的圆上，则为通径，则,，则以点为圆心的圆的半径为2，但，所以不存在点使得点.都在以为圆心的圆上，故A错误；
B.由，则，，则直线，与抛物线方程联立，得，
则，所以，则，即，若存在点使得点是的垂心，则，，
，，则，①
，，则，②，
且，③，联立①③，得，
联立①②，得，则，得成立，故B正确；
C.若存在点使得点是重心，则，，
得，，即，故C正确；
D.点到直线的最短距离为，当时，即时等号成立，点到直线的最短距离为4，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数是方程的一个根，则__________.
【答案】-2
【解析】由条件可知，，
所以，得.
故答案为：-2
13. 二项式，若，则__________.
【答案】
【解析】二项式的通项为，
令，得，
所以，
中，是的系数，所以.
故答案为：
14. 抛一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为，则不等式成立的概率是__________.
【答案】
【解析】抛一枚质地均匀的骰子3次，共有种情况，
其中满足，包含三个数字为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共23个.
所以不等式成立的概率.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记数列的前项和为，且.数列是等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和：
解：（1）当时，，
当时，，
验证当时，，成立，
所以，
设等比数列的首项为，公比为，
所以，得，，
则；
（2），
所以
.
16. 已知的内角的对边分别为.
（1）证明：；
（2）若的外接圆半径为，且，求的面积.
（1）证明：由正弦定理可知，，
即，因为，且，
所以，因为，所以，
所以；
（2）解：因为，
而，则C为锐角，
，
则，
，
所以.
17. 如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
解：（1）设底面边长为，则，得，
连结交于点，作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，所以，
且，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以是等边三角形，，所以
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（2）由题意可知，蚂蚁从点沿的概率都是,
2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2，所以若沿移动，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿蚂蚁到达点，
，，
所以分布列为
数学期望.
18. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）证明：当时，；
（3）若，求的值.
（1）解：由题意得，，
∴，
由得，或，由得，，
∴在上增函数，在上为减函数，在上为增函数，
∴当时，有极大值，极大值为，
当时，有极小值，极小值为.
（2）证明：由（1）得，，
要证，只需证，
令，
则，
由得，由得，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，
∵，∴，∴，，
∴，即.
（3）解：∵，∴，
当时，，在上为减函数，
且，不满足.
当时，，
方程的，方程有两个不相等的实数根，
且，，
由得，，，由得，或，
∴在上为增函数，在上为减函数，在上有唯一极大值点，且，
∵，，
∴，即，解得.
19. 已知点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.如：在变换的作用下得到.
（1）已知曲线在的作用下得到曲线，求的方程；
（2）已知椭圆在变换下保持位置关系不变性，即点在曲线上，在变换下也在曲线上：直线与相切，在变换下直线与也相切.已知点是上一动点，直线是在处的切线.用上述结论求的方程；
（3）已知直线与曲线在第一象限的交点为在处的切线被所截得的弦长记为，求.
解：（1）设上任意一点，上任意一点Px,y，
由题意得，所以，得，
所以的方程为，
（2）椭圆上任意一点Px,y在变换下的上一点，
所以代入可得，
所以的方程为，
点在变换下的的坐标为，
所以直线与圆在处相切，
设直线AB在Ax1,y1与圆的相切，
在AB上任取不同于Ax1,y1的点Bx,y，
所以，所以，
即，
所以圆在点Ax1,y1处的切线为，
所以圆在的切线为，
设上任取一点， 则对应于直线上一点Px,y，
则有代入，
得，所以的方程为.
（3）由，解得，即，
由（2）得在处的切线方程为，
设在处的切线与交于两点分别为，
由，消元得，
整理得，所以，
所以，
所以.1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
8
8
9
0
2