四川省甘孜藏族自治州泸定县2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题含解析

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
5．已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为( )
A．B．
C．D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A．B．C．D．
7．复数的虚部是 ( )
A．B．C．D．
8．若，则“”是“的展开式中项的系数为90”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．设，则（ ）
A．B．C．D．
10．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20B．24C．25D．26
11．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
14．已知集合，则____________.
15．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.
16．正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．
①，使得；
②直线与直线所成角的正切值的取值范围是；
③与平面所成锐二面角的正切值为；
④正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．
其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）
（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.
18．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
19．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
20．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.
（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：
（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；
（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）
21．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
22．（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
2．C
【解析】
由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.
【详解】
解：因为，所以，又，所以，
又，解得.
故选：C.
本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.
3．A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
4．C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
5．C
【解析】
设，，则，，相减得到，解得答案.
【详解】
设，，设直线斜率为，则，，
相减得到：，的中点为，
即，故，直线的方程为：.
故选：.
本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
7．C
【解析】
因为 ，所以的虚部是 ，故选C.
8．B
【解析】
求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.
【详解】
若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.
故选:B.
本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.
9．C
【解析】
试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．
10．D
【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
11．A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
12．C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
14．
【解析】
根据并集的定义计算即可.
【详解】
由集合的并集，知.
故答案为：
本题考查集合的并集运算，属于容易题.
15．1
【解析】
建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．
【详解】
解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，
设，则，，
，，，
，
，
显然当取得最大值4时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
16．①②③④
【解析】
取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.
【详解】
取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,
取中点,中点,连接,则易证得,
所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.
①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确；
②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,；
当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,
所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确；
③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确；
④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确．
故答案为:①②③④
本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）e；（2）2.
【解析】
（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；
（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.
【详解】
（1）根据题意，与的图象关于直线对称，
所以函数的图象与互为反函数，则,，
设点，，又，
当时，，
曲线在点处的切线为，
即，代入点，
得，即，
构造函数，
当时，，
当时，，
且，当时，单调递增，
而， 故存在唯一的实数根.
（2）由于不等式恒成立，
可设，
所以，
令，得.
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为 .
令，
因为， ，
又因为在是减函数.
所以当时，.
所以正整数的最小值为2.
本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.
18．（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【解析】
（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；
（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，
所以椭圆方程为．
（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，
由，得，
，，
所以，，
，
所以当时，，，为常数．
若，则，，，，，
综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
19．（1），圆的方程为：.（2）答案见解析
【解析】
（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.
【详解】
解：（1）易知点的坐标为，
所以，解得.
又圆的圆心为，
所以圆的方程为.
（2）证明易知，直线的斜率存在且不为0，
设的方程为，
代入的方程，得.
令，得，
所以，解得.
将代入的方程，得，即点的坐标为.
所以，，
.
故.
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.
20．（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长
【解析】
（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；
（3）由图表直接判断结果.
【详解】
（1）100名学生中共有男生48名，
其中共有20人参加公益劳动时间在，
设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为，
那么；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3.
∴；；
；.
∴随机变量的分布列为：
（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.
本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.
21．（1）见解析（2）
【解析】
(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.
(2) 过作交于,由为的中点,结合已知有平面.
则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）证明：平面，平面，
,又四边形为正方形，
.
又、平面，且，
平面..
中，，为的中点，
.
又、平面，，
平面.
平面，平面平面.
（2）解：过作交于，如图
为的中点，，.
又平面，平面.
，.
所以,又、、两两互相垂直，以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，，
设平面的法向量，则
，即.
令，则，..
平面的一个法向量为
.
二面角的余弦值为.
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
22．（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析
【解析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.
【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P（ξ＝2），P（ξ＝3），
则这3天中空气质量至少有2天为优的概率
为；
（2）（i），
，
，
X的分布列如下：
（ii）由（i）可得：
E（X）＝02201480302（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），
即30E（X）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，
可得：，
，，
E（Y）＝02201480320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），
由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。
AQI
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
25
10
X
0
220
1480
P