四川省2025-2026学年高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

这是一份四川省2025-2026学年高三下学期一模考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若复数满足，则，等比数列的各项均为正数，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）
A．B．，
C．D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）
A．0B．C．D．
7．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A．B．C．D．
8．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．等比数列的各项均为正数，且，则( )
A．12B．10C．8D．
10．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
12．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是______.
14．已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________ .
15．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__．
16．若x，y满足，则的最小值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
（1）求的分布列与数学期望；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值．
19．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.
（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.
①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
20．（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称.
（1）求和的标准方程；
（2）过点的直线与交于，与交于，求证：.
21．（12分）若正数满足，求的最小值.
22．（10分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
2．C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．D
【解析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.
【详解】
图象关于轴对称的函数为偶函数；
A中，，，故为奇函数；
B中，的定义域为，
不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；
D中，且，，故为偶函数.
故选：D.
本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数
(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．
4．B
【解析】
求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由，得，则集合，
所以，.
故选：B.
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.
5．B
【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．
【详解】
由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，
∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
且球半径为，
∴三棱锥外接球表面积为，
∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．
故选B．
（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．
（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．
6．C
【解析】
试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．
解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数
∴
∴a≥-
∴a的最小值为-故答案为C．
考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
7．B
【解析】
由题意知，，由，知，由此能求出．
【详解】
由题意知，，
，解得，
，
．
故选：B．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
8．B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
9．B
【解析】
由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论．
【详解】
∵数列是等比数列，∴，，
∴．
故选：B.
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．
10．D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
11．B
【解析】
由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.
【详解】
由题意知，，则，故，
又，则，所以，
所以本题答案为B.
本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.
12．D
【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；
所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；
相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．
故选D．
本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先求得复数，再由复数模的计算公式即得.
【详解】
，
，则.
故答案为：
本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.
14．
【解析】
根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得与直线垂直，且的中点在这条直线上，列出方程解得即可得到结论.
【详解】
由,，设的中点为，
根据题意，可得,且，
解得，,，故.
故答案为：.
本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.
15．．
【解析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求．
【详解】
解：把看成关于的二次方程，
则，即，
即为，
化为，而，
则，
由于，可得，
可得，即，
代入方程可得，，
，
由余弦定理可得，，
解得：（负的舍去），
．
故答案为．
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．
16．5
【解析】
先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.
故答案为：4
本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）分布列见解析，；（2）0.8575
【解析】
（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.
（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.
【详解】
（1）的分布列如下：
.
（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，
则
.
本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.
18．（1），（2）．
【解析】
根据题意设，可得PF的方程，根据距离即可求出；
点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，根据导数的几何意义和斜率公式，求，并构造函数，利用导数求出函数的最值．
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以F的坐标为，
设，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，
所以圆M的半径为，点，
则直线PF的方程为，即，
所以，又m，，
所以，即，
所以E的方程为，，
设，，，
由知，点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以，．
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即AB取得最小值
此时．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
19． (1) (2) ①生产线上挽回的损失较多. ②见解析
【解析】
(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；
(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可；
②.由题意首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后由分布列可得利润的期望值.
【详解】
（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，设从，生产线上抽到合格品分别为事件，，则，互为独立事件
由已知有，
则
解得，则的最小值
（2）由（1）知，生产线的合格率分别为和，即不合格率分别为和.
①设从，生产线上各抽检件产品，抽到不合格产品件数分别为，，
则有，，所以，生产线上挽回损失的平均数分别为：
，
所以生产线上挽回的损失较多.
②由已知得的可能取值为，，，用样本估计总体，则有
，，
所以的分布列为
所以（元）
故估算估算该厂产量件时利润的期望值为（元）
本题主要考查概率公式的应用，二项分布的性质与方差的求解，离散型随机变量及其分布列的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．（1）,；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．
（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得 ．则．即 ．
详解：（1）设的标准方程为，则．
已知在直线上，故可设．
因为关于对称，所以
解得
所以的标准方程为．
因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．
（2）设的斜率为，那么其方程为，
则到的距离，所以．
由消去并整理得：．
设，则，
那么 ．
所以．
所以，即 ．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．
【解析】
试题分析：由柯西不等式得，所以
试题解析：因为均为正数，且，
所以．
于是由均值不等式可知
，
当且仅当时，上式等号成立．
从而．
故的最小值为．此时．
考点：柯西不等式
22．（1），（）；（2）.
【解析】
（1）根据是等差数列，，、、成等比数列，列两个方程即可求出，从而求得，代入化简即可求得；（2）化简后求和为裂项相消求和，分组求和即可，注意讨论公比是否为1.
【详解】
（1）由题意知，，，
由得
，
解得.
又，得，
解得或（舍）.
，.
又（），
（）.
（2），
①当时，
.
②当时，
.
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目.
加工1个零件用时（分钟）
20
25
30
35
频数（个）
15
30
40
15
20
25
30
35
0.15
0.30
0.40
0.15