青海省西宁市2026届高三下学期复习检测（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份青海省西宁市2026届高三下学期复习检测（一）数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，若，则中各元素之和为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．若且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（ ）
A．0B．1C．0或1D．0或1或2
6．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bt》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A．0.9B．0.91C．0.92D．0.93
7．已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21
D．甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限．若，的周长为18，点T为双曲线C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点T到两条渐近线的距离之积为定值
C．过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段的中点，则直线为
D．若，则的面积为
11．若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则______．
13．已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________．
14．三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________.
四、解答题
15．已知在处取得极小值．
(1)求在处的切线方程；
(2)若，讨论零点的个数．
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期，以及在内的单调递增区间；
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为，若，，，求a的长．
17．如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且．
（ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．
18．已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD.
(1)若平面PAD与平面PBC的交线为，证明：；
(2)若平面平面PDC.
（i）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；
（ii）判断四棱锥是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.
19．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的．
(1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望）
（i）求关于的函数表达式；
（ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数）
参考答案
1．D
【详解】，，的虚部为，故选项D正确.
故选：D.
2．B
【详解】由可知，于是只能，
故中各元素之和为．
3．C
【详解】对于A，当时，由，得，故A错误；
对于B，当时，有，故B错误；
对于C，因为，所以，即，故C正确；
对于D，若，，则，不满足，故D错误.
4．A
【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.
故选：A.
5．C
【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点，
当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点，
所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1.
6．D
【详解】.
7．B
【详解】圆化为标准方程为：，
圆心，半径，
如图所示：

则点到直线的距离为：，
而，，
得，
则劣弧的长为：，
故选：B
8．B
【详解】解：由，则或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以，故B正确.
故选：B
9．AD
【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A正确；
对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B错误；
对于，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，
由于%，因此给定数据的第70百分位数是23，C错误；
对于D，令样本容量为，依题意，，解得，D正确.
故选：AD
10．ABD
【详解】对于A：根据双曲线定义对右支上点，有，，
相加得： ①，
由，得，
代入①得： ，故A正确；
对于B：由，得双曲线渐近线为，即，
设，满足，
到两渐近线距离乘积： 为定值，故B正确；
对于C：设，则，，
两式相减得，
由是中点得，，得斜率，
直线的方程为即 ，
联立直线与双曲线：，整理得，
判别式，无实根，不存在这样的直线，故C错误；
对于D：设，由双曲线定义，
平方得； ，，
由余弦定理：， 联立得，
面积，故D正确.
11．AC
【详解】数列中，，当时，，则，
而，解得，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
当时，数列的前项中，有个正数，个负数，
任取两项都是正数的概率为，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，D错误.
12．
【详解】因为数列的公比为，且，所以，
因为，，成等差数列，
所以，又，
所以，
所以（舍去）或，
所以.
故答案为：.
13．/
【详解】因为函数为偶函数，
所以，
所以，
所以函数的周期为，
所以，
由题意知，，
即，
解得.
14．
【详解】由题意画出棱锥的图形，，；
取的中点分别为，则平面，所以平面，
，
所以，
令，
当在单调递增，
当在单调递减，
故当时，体积取得最大值．
故答案为：
15．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值，
则，解得，，
所以，，
故，，
则切线方程为，即；
（2）令，所以．
令，解得或．则，，的关系如下表：
作出函数的图象如下：
所以，①当或时，有两个零点；
②当或时，有一个零点；
③当时，有三个零点．
16．(1)最小正周期为，在内的单调递增区间为，，
(2)
【详解】（1）由题意得
，即，
所以最小正周期为，令，
解得，令，可得，
令，可得，又因为，所以，
当时，为，
当，为，
当，为，
综上，在内的单调递增区间为，，．
（2）因为，所以，
即，，解得，
又，故，因为，所以，
解得，又，
由余弦定理得
，故．
17．(1)
(2)（ⅰ）平行四边形；（ⅱ）6
【详解】（1）连接，由题意知，，
则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
即，则，
所以的方程为.
（2）（ⅰ）由题意，，且，，
结合椭圆的对称性，易知，
则四边形为平行四边形.
（ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心，
则四边形面积为，
由题意，设直线的方程为，，
联立，得，
则，
，，
则
，
则四边形面积为，
令，，则，
因为函数在上单调递增，则，
则，即四边形面积的最大值为6.
18．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）不存在，理由见解析
【详解】（1）因为底面ABCD是平行四边形，故平面PAD，可得平面PAD，
又因为平面PBC，平面平面，所以.
（2）在平面PAD内过点作于点，
因为平面平面PDC，所以平面PDC，故，
又因为，又因为，
所以平面PAD，有.所以平行四边形ABCD为长方形.
如图所示，以点A为坐标原点，所在的方向为轴，所在的方向为轴，所在的方向为轴建立坐标系.
则有，.取平面PAD的法向量为，
设平面PBC的法向量为，
则有，代入得，取，
设平面PAD与平面PBC所成角为，则.
（3）易知，
假设四棱锥存在内切球，内切球的半径为，
则有，解得，
设内切球球心为，根据图形特征，必有，，
则球心到平面PBC的距离，与内切球与平面PBC相切矛盾.
故四棱锥不存在内切球.
19．(1)分布列见详解，
(2)（i）
（ii）证明见详解，时，最大期望利润为
【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
的分布列为：
.
（2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算：
支付金额期望：，
商品成本，
优惠券成本期望：基础券成本，
进阶券成本，
总成本期望，
购买概率，
代入公式：
.
(ii)对求导得：
令，整理得，解得根为，（舍去，不在内），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点，2
0
0
单调递增
单调递减
单调递增