山东省淄博市2026届高三下学期5月仿真考试（三模）数学试卷（Word版附答案）

这是一份山东省淄博市2026届高三下学期5月仿真考试（三模）数学试卷（Word版附答案），共25页。试卷主要包含了已知双曲线，随机事件A，B满足，，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．1D．
2．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（ ）
A．B．688C．D．888
6．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列时，五张牌的排法总数为（ ）
A．8B．10C．13D．16
8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，分别过、作斜率为、-2的直线、，若和的交点在双曲线上，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随机事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．事件A，B相互独立
C．D．
10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示．
则（ ）
A．y关于x的线性回归方程为：
B．相关系数（小数点后保留两位）
C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3．4千件
D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为-0．4
参考公式：①
②③
参考数据：
，，，
11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”．则（ ）
A．对于，点，则点是M在的“最近点”
B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直
C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．则对任意的，的中点同时是，在的“最近点”
D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________．
13．设正项数列，，，则的前n项和为________．
14．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，．
（1）求A，C；
（2）若，求a，c．
16．已知函数．
（1）当，时，求的极值；
（2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点E，点F在上，，，，．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为β，求．
18．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．
（1）若，求M点的横坐标；
（2）证明：直线过定点；
（3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值．
19．盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率．
（1）求，；
（2）求；
（3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：．
2026年数学科高考仿真模拟试题答案
选择题：
1． A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C
9．ABD 10．ABD 11． ABC
8．答案：C解析：由题意知：，则直线方程：；直线方程：；联立方程可得交点坐标：，
因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：；
由双曲线定义可知，满足：；代入；
可得：，
两边同乘去分母可得：，
即：，两边同除，
可得：，即；
解得或；因为双曲线离心率；
故，因此双曲线的离心率为．
11．答案：ABC
A．当时，，
当且仅当即时取等号，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
B．由题设可得，
则，因为均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，故在点处的切线方程为．
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
C．因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，得证．
D．设，，
而，
，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在，使得，
即①
②
由①②相减得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案：
13．答案：
14．答案：
解析：
，
向量在上的投影向量的模为，即，
当且仅当，即时取到最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．解析：
（1），所以，
又∵，∴，∵，
∴或，
当时，不成立；
当时，又∵，∴
∴，综上，．
（2）由（1）知，，由正弦定理，，
，∴．
16．解析：（1）当时，，
其定义域为，
令，得或，令，得，
当时，有极大值，当时，有极小值，
极大值为，极小值为．
（2）若，则，定义域为，
当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意，
所以，令，则，在上单调递增；
令，则，在上单调递减，
则，
因为，
因为的最大值小于，所以，
解，设，
易知在上单调递增，
又，所以，所以，故的取值范围为．
17．解析：
（1）法一∵底面是菱形，∴，
∵平面，且平面，∴．
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，又∵，且平面，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴，即，又∵平面平面，
且，∴平面．
法二：以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，
∵，∴，
又∵，∴在中由勾股定理得，
即，∴．∴，
，平面，∴平面．
（2）法一：以E为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，
∵，
∴，又∵，
∴在中由勾股定理得，
即，∴，∴
∵，∴，
∴，∴，∵平面，
∴与平面所成的角为，∵平面，
∴是平面的一个法向量，∵平面，平面，
∴平面平面，设，只需，则平面，
则，
令，则，
∴，∴．
法二：过作和的平行线，平面平面，过作的延长线于点，连接易证为二面角的平面角
利用等面积法求出，从而求出两角和．
法三：作于，易证平面，作于，易证平面，
在中，，
利用余弦定理和三角形的面积公式，，
．
18．解析：（1）由得，
所以点的横坐标．．
（2）
由，故，由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为0，
设、、、，
直线、分别为，
联立，
故，
即，同理可得，
由对称性，定点一定在轴上，设为，则，有，
故，
故过定点，且该定点为（3，0），
（3）
先证，
事实上，取的中点，连接，则为的中位线，即，
从而，同理可得，
故，即，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立．
故最小值为8．
19．解析：（1）解：（1），
．
（2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1，2个红球的概率分别为，
若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球，
摸到0，1个红球的概率分别为，
则摸球次，记第次和第次分别各摸到一个红球的概率为，
则，
摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则，
则
．
（3）法一：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
记，则，
可能取值为1，2，且，
，故．
法二：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为
，
摸球次，第次摸到两个红球的概率为，
①若，
此时当为奇数且时，；当时，，
则，
故，
记，
则，
可能取值为1，2，且，
，故．
②当时，，结论也成立；售价x（元/件）
10
11
12
13
14
月销售量y（千件）
10
9
9
7
5
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增