广东省深圳高级中学（集团）2026届高三适应性考试数学试卷含解析（word版）

这是一份广东省深圳高级中学（集团）2026届高三适应性考试数学试卷含解析（word版），共26页。试卷主要包含了【答案】 D，【答案】 A，【答案】B，【答案】C， 【答案】 D，【答案】 C， 【答案】 D 直线 l， 【答案】 AB 【解析】解等内容，欢迎下载使用。
【详解】因为 z1+i=2i ,所以 z=2i1+i=2i1−i1+i1−i=1+i ,所以 z=12+12=2 .
2.【答案】 A
【解析】若函数 y=tanx+φ 的图象关于 π4,0 对称,则 π4+φ=kπ2,k∈Z , 解得 φ=−π4+kπ2,k∈Z ,因为 φ∣φ=−π4+kπ,k∈Z 是 φ φ=−π4+kπ2,k∈Z 的真子集,所以 “ φ=−π4+kπ,k∈Z ”是“函数 y=tanx+φ 的图象关于 π4,0 对称”的充分不必要条件. 故选: A.
3.【答案】B
【解析】根据集合元素的互异性可知, a≠1,a≠−2 . 因为 A∪B 含有 4 个元素,所以 A∩B 仅含有 1 个元素,若 a2∈A ,则 a2=1 或 a2=a ,所以 a=0 或 a=±1 . 若 −1∈A ,则 a=−1 . 结合集合元素的互异性可知 a=0 或 a=−1 . 当 a=0 时, A={−2,1,0},B={−1,0},A∪B={−2,−1,0,1} ,符合题意. 当 a=−1 时, A={−2,1,−1} , B={−1,1},A∪B={−2,−1,1} ,不符合题意. 综上, a=0 .
4.【答案】 A
【解析】 ∵ 函数 fx=ex+ae−xa∈R 的图象关于原点对称,可得: fx 为定义域 R 上的奇函数,根据奇函数性质 f−x=−fx ,令 x=0 ,可得 f0=0 ,又 ∵f0=e0+ae0=0 , ∴a=−1,∴fx=ex−e−x ,故 fa=f−1=e−1−e1=1e−e 故选 A .
5.【答案】C
【详解】设与 OA,OC 方向相同的单位向量分别为 a,b ,则 OA⋅OC=5a⋅4b=−10 ,故 a⋅b=−12 ,由于 CD=a−2b,PQ=2a+3b ,故 CD⋅PQ=a−2b⋅2a+3b=2a2−a⋅b−6b2=2−−12−6=−72 .
6. 【答案】 D
【解析】由题意得点 A 的坐标为 22,2,C 的焦点为 F0,1 ,所以直线 AF 的方程为 y=24x+1 ,与抛物线方程 x2=4y 联立,消去 y 得 x2−2x−4=0 ,由韦达定理得 xA+xB=2 ,所以 yA+yB=24xA+xB+2=52 , 所以由抛物线的定义得 AB=yA+yB+2=92 . 故选: D
7.【答案】 C
【解答】解: 由题意可得 f′x=1x,g′x=ex ,设切点坐标分别为 x1,2+lnx1,x2,ex2 , 则切线方程为 y−2+lnx1=1x1x−x1 ,即 y=1x1x+1+lnx1 ,或 y−ex2=ex2x−x2 ,即 y=ex2x+(1− x2ex2 . 则 1x1=ex2,11+lnx1=1−x2ex2,2 ,由 列得x2=−lnx1 ,
代入 ②，得 1+lnx11−1x1=0 ，则 x1=1 或 x1=1e . ∴ 公切线斜率为 k=1 或 k=e .
8. 【答案】 D 直线 l:x+y+m=0 的斜率为-1,过点 −m,0 ,直线 l:x+y+m=0 绕原点 O 逆时针旋转 90∘ 后, 斜率为1,过点 0,−m ,得到直线 x−y−m=0 ,该直线 x−y−m=0 与圆 C:x−12+y−22=1 存在公共点, 则圆心 C1,2 到直线 x−y−m=0 的距离 d=1−2−m2≤1 ,解得 −2−1≤m≤2−1 .
9. 【答案】 AB 【解析】解: 根据题意可得高一年级学生得分平均数的估计值为:
x=35×0.01+45×0.02+55×0.03+65×0.02+75×0.01+85×0.005+95×0.005×10=58.5 ,
高二年级学生得分平均数的估计值分别为:
z=35×0.005+45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.005×10=67.5 ,
因为高二年级学生得分的频率分布直方图的前几组的频率依次为:0.05,0.1,0.15,0.2,
所以 y=70 ,所以 xz ,所以 B 选项正确;
因为 M∩N= “高一年级学生得分不低于 80 分,高二年级学生得分不低于 80 分” ≠⌀ ,所以 C 选项错误;
由评率估计概率得: PM=0.2+0.1+0.05+0.05×0.15+0.05=0.08 ,
PN=0.05+0.05×0.2+0.3+0.15+0.05=0.07,D 选项错误. 故选: AB .
10. 【答案】 BCD 【详解】对于 A ,直线 QN⊂ 平面 BCC1B1 ,点 P∈ 平面 BCC1B1 ,而 P∉ 直线 QN ,点 M∉ 平面 BCC1B1 ,因此直线 PM 与直线 QN 是异面直线,则 P,M,Q,N 四点不共面, A 错误; 对于 B ,将三棱柱 ABC−A1B1C1 补形为正方体, AB,AC,AA1 为该正方体共点的三条棱,矩形 BCC1B1 为该正方体对角面,则 BC1 为三棱柱 ABC−A1B1C1 外接球直径, B 正确; 对于 C ,点 A1 到平面 BCC1B1 的距离为 2 ,
则 VP−AQN=VA−PQN=13×12×22×1×2=23 ，C 正确；对于 D ，取 AB 中点 O ，连接 OM,ON ，由 N 是 BC 中点， 得 ONI//AC ,则 ∠MNO 是异面直线 MN 与 AC 所成角或其补角,由已知 AC⊥AB , AC⊥AA1,AB∩AA1=A,AB,AA1⊂ 平面 ABB1A1 ,所以 AC⊥ 平面 ABB1A1 ,故 ON⊥ 平面 ABB1A1 ,又 OM⊂ 平面 ABB1A1 ,于是 ON⊥OM ,而 ON=12AC=1,OM=12+12=2 , 则 MN=OM2+ON2=3 ，因此 cs∠MNO=ONMN=13=33 ，D 正确.

11. 【答案】BC【详解】对于 A，第 2026 行共有 2027 个数，故 A 错误，对于 B，由题意可得
C43+C53+C63+⋯+C193=C44+C43+C53+C63+⋯+C193−1=C54+C53+C63+⋯+C193−1=⋯=C204−1,B 正确,
对于 C ,第 48 行的所有数字之和为 C480+C481+C482+⋯+C4848=248=816=1+716=C16070+C16171+C16272+⋯+C1616716 =1+7C16170+C16271+⋯+C1616715 ,由于 C16170+C16271+⋯+C1616715 能被 7 整除,故第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1, C 正确,对于 D ,第 n 行的和为 Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=1+1n=2n ,当 n≥1 时,第 n 行中去除为 1 的项的和为 2n−2 ,第 0 行为 1,故前 n 行中去除为 1 的项的和为 Sn=21−2n1−2−2n=2n+1−2−2n ,故前 17 行中去除为 1 的项的和为 218−36 ,去除所有 1 的项后,则从第一行开始,则剩下的每一行的个数为 0,1,2,3,4,…… , 可以看成一个首项为 0,公差为 1 的等差数列,前 n 行共有 nn−12 个数,当 n=17 时, 17×162=136 ,因此前 17 行中, 去掉为 1 的项，共有 136 项，且第 17 行中，去掉为 1 的项后，最后一项为 C1716 ，则此数列前 135 项的和为 S17−C1716=218−53 ,则 D 答案错误.
12.【答案】 x23−y212=1 设双曲线的方程为 x2−y24=λλ≠0 ,将点 2,2 代入得 λ=3 ,所以方程为 x23−y212=1 .
13. 【答案】 Sn=2n2 因为 nSn+1−n+1Sn=2n2+n⇒Sn+1n+1−Snn=2 , 所以数列 Snn 是以 S11=a11=2 为首项,2 为公差的等差数列,所以 Snn=2+2n−1=2n⇒Sn=2n2 ;
14.【答案】 23 【解析】记 S△ABC=3S ，则 ABADsinα1=ADAEsinα2=AEACsinα3=2S ， ABACsin2π3=6S 因为 ADAEsinα2ABACsin2π3ABADsinα1AEACsinα3=3 ,所以 sinα2sin2π3sinα1sinα3=3 ,所以 sinα2sinα1sinα3=23
15. 【答案】解: (1)在 △ACD 中, ∠CAD=π2−θ,∠CDA=θ+π6 ,
由正弦定理可得: ADsin∠ACD=ACsin∠CDA ,得 AC= AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=163sinθ+π6 ,
在 △ABC 中, ∠ACB=π3−θ ,
由正弦定理可得: ABsin∠ACB=ACsin∠ABC ,
得 ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sinθ+π6sinπ3−θ=32sinθ+π6csπ6+θ=16sin2θ+π3π12≤θ≤π6 .
若 θ=π6 ,则灯柱 AB 的高 ℎ=83 ;
(2) △ABC 中，由正弦定理可得: BCsin∠BAC=ACsin∠ABC ，得 BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sinθ+π6sinθ ，
∴AB+BC=32sinθ+π6sinπ3−θ+32sinθ+π6sinθ
=3232sinθ+12csθ32csθ−12sinθ+3232sinθ+12csθsinθ
=3212sinθcsθ+34cs2θ−34sin2θ+32sin2θ+12sinθcsθ =16sin2θ+83
∵π12≤θ≤π6,∴π6≤2θ≤π3,∴lgθ=π12 时, AB+BC 取得最小值 8+83 .
故设置 θ=π12 时,制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小,最小值为 8+83 米.
16. 【解析】解: (I) 由数表知, PB=2+325=15,PA=8+225=25,PB∣A=210=15 .
(2)设事件 C :外观和内饰均为同色，事件 D :外观内饰都异色，事件 E :仅外观或仅内饰同色， 依题意, PC=C82+C122+C22+C32C252=49150;PD=C81⋅C31+C121⋅C21C252=24150=425 ; PD=C8J⋅C3J+C12J⋅C12JC252=425=24150;PE=C8J⋅C2J+C12J⋅C3J+C8J⋅C12J+C2J⋅C3JC252=77150 ,则 PE>PC>PD , 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖; 外观和内饰均为同色是二等奖; 外观同色但内饰不同色, 或内饰同色但外观不同色是三等奖,
奖金额 X 的可能值为:600,300,150,奖金额 X 的分布列:
奖金额 X 的期望 EX=600×425+300×49150+150×77150=271 (元).
17. 【答案】(1)证明见解析; (2) (i) CE=13 ; (ii) 147 .
【详解】(1) 在正方形 ABCD 中,由 CE=DF ,得 BE=CF,tan∠BAE=BEAB=CFBC=tan∠CBF ,
则 ∠BAE=∠CBF ， ∠BAE+∠FBA=∠CBF+∠FBA=90∘ ，因此 AE⊥BF ，
由 PB 是圆柱 OO1 的母线，得 PB⊥ 平面 ABCD ，而 AE⊂ 平面 ABCD ，则 AE⊥PB ，

又 BF∩PB=B,BF,PB⊂ 平面 PBF ,所以 AE⊥ 平面 PBF .
(2)(i)设圆柱 OO1 的底面圆半径为 r ，圆柱 OO1 的体积为 π ， PB=2π ，得 πr2⋅PB=π ，
解得 r=22 ,则 AB=BC=1 ,显然直线 BA,BC,BP 两两垂直,以点 B 为原点,直线
BA,BC,BP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则
A1,0,0,C0,1,0,D1,1,0,P0,0,2 ,设 BE=t0