广东省深圳中学2026届高三5月适应性考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省深圳中学2026届高三5月适应性考试数学试卷含解析（word版+pdf版），共100页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若复数 满足 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 可得 .
2. 已知向量 ，若 ，则
A. -2 B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,
因为向量 ,所以 和 ,
所以 ,解得 或 .
3. 的内角 的对边分别为 ,已知 ,则
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】由余弦定理 ,即 ,解得 .
4.某班一天上午安排 5 节课 (语文、数学、英语、艺术、体育各一节), 要求第一节必须是语文或数学，且艺术与体育不相邻，则不同的排课方法种数为
A. 24 B. 36 C. 40 D. 48
【答案】A
【解析】先排第一节有 种排法,
再在其后排语数英中除第一节外的两科目,有 种不同排列,
并形成 3 个空排艺术、体育两门科目,有 种排法,
故不同的排课方法有 种方法.
5.已知 ,若 且 ,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ,故 ,即 ,又 ,
故 ,即 .
6.设直线 ，则直线 一定是圆( )的切线
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点 到 中的直线 的距离设为 ,
则 为定值,
故直线 表示圆 的切线, 选项正确.
7.已知 为随机事件,且 ,则
A. 0.2 B. 0.375 C. 0.75 D. 0.8
【答案】A
【解析】因为 ,所以 , 解得 .
8.已知 , 则 的值是
A. 44032 B. 88064 C. 22020096 D. 22544384
【答案】D
【解析】令 ,则 .
令 ,得 : 令 ,
得 .
两式相加可得 .
其实, 先通过检验是否能被 43 整除排除 C, 再结合选项估算即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ，则
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 直线 是曲线 的一条对称轴
D. 将 的图象向右平移 个单位得到 的图象
【答案】BD
【解析】因为 ,
对于 选项,函数 的最小正周期为 错;
对于 选项,当 时, ,
所以, 在 上单调递增, 对;
对于 选项,因为 ,故直线 不是曲线 的一条对称轴, 错:
对于 选项,将 的图象向右平移 个单位,得到函数
的图象, 对.
10.已知正方体 的棱长为 2,点 分别是线段 的中点,则下列选项正确的是
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 正方体内最大正四面体的内切球的体积为
C. 平面 截正方体所得截面与上底面 的交线长为
D. 正方体的截面可以是正三角形、正方形、正五边形、正六边形
【答案】ABC
【解析】 选项: 建立空间直角坐标系: 以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴.
则
为 中点 为 中点 为 中点 ( 用于 选项). 向量 .
异面直线所成角的余弦值为 . 故 A 正确.
(通过平移, 找到异面直线对应的平面角, 通过解三角形进行计算)
B 选项: 正方体内最大的正四面体通常以四个互不相邻的顶点为顶点,例如 .
棱长 . 正四面体的高 .
内切球半径 . 体积 . 故 B 正确.
选项:平面 过 ， ， ，则 ， ，
计算平面 的法向量 ，平面 方程为 ，
化简得 . 上底面 的方程为 ,代入得 ,
即 .
在正方形 内,该直线与边界的交点为: .
故交线端点 和 ,长度 . 因此 C 正确.
(作出完整截面，用几何法也可)
D 选项: 正方体的截面可以是正三角形 (如过与点 相邻的三个顶点)、正方形 (平行于正方体的面)、 正六边形(过六条棱的中点)，但不能是正五边形，因为截面五边形必有两条平行边(由正方体对面平行产生), 而正五边形没有平行边. 因此 D 错误.
11.已知抛物线 ,交点为 ,过交点 的直线与 交于 两点,则下列说法正确的有
A. 面积的取值范围是
B. 是定值
C. 抛物线 上一定不存在两个不同点关于直线 对称
D. 固定点 ,过定点 的直线与 交于 两点,则 是定值
【答案】ACD
【解析】抛物线 ,焦点 . 设过 的直线为 ,联立 消去 得 .
设 ,则 ,进而 ,
选项 A: 原 点到直线 的距离为 .
弦长 .
而 ,
所以 .
于是 .
因为 ,故 .
因此三角形面积取值范围为 , A 正确.
选项 B: 由 ,
得 .
于是 .
代入 ，得 .
该值随 变化,不是定值, 错误.
选项 C:设直线 的斜率为 ( ，因为 时直线与抛物线只有一个交点)，则 . 假设存在抛物线上两个不同点 关于 对称,则 ,且 的中点在 上.
设 在 上,则 .
两式相减得 .
左边为 的斜率,故 .
设 的中点为 ,则 .
由于 在 上,有 ,代入得 ,
故 .
的方程为 ,代入 得 .
将 (由 变形得),
代入抛物线得 ,
判别式 ,无实根.
当直线 时,显然不存在抛物线上两个不同的点关于 对称.
因此，对于任意过焦点 且与抛物线有两个交点的直线 ，都不存在抛物线上两个不同的点关于 对称, 正确.
选项 D: 设直线 在 上,
联立 消去 ,得 ,
,
把 代入上式得 ,
是定值, 正确.
(也可以用韦达定理常规方法解).
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ________.
【答案】8
【解析】由等差数列的性质可得: , 所以 .
13.已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一点，点 ，则 的最大值为_______.
【答案】
【解析】如图,取椭圆 右焦点 ,则 ,
则由椭圆定义可知 ,
则 ,
当且仅当 三点共线,且 在 之间时取等,
故 的最大值为 .
14.在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 的最小值为________.
【答案】
【解析】由 ,得 ,两边除以 得,
等式的左边换成 .
令 ,则原问题变为: 已知 ,求 的最小值.
再令 ,故 . 由 解得 ,当 ,即 , ,等号成立. 故 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据:
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出 关于 的回归直线方程 (系数精确到 0.1 ):
(2)记 ，其中 为观测值， 为预测值， 为对应 的残差, 求(1)中步长的残差的和.
参考数据: .
参考公式: .
【解析】( 1 ) ,
所以回归直线方程为 .
(2)解法一:根据(1)得到 ， :
;
,
所以 ,即步长残差和为 0 .
解法二: 对于一般情况, 证明如下:
16.在边长为 2 的正方形 中,沿对角线 将 折起,得到四面体 , 设二面角 的大小为 .
(1) 求证: ;
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【解析】( 1 )取 的中点 ，连接 ， .
在正方形 中， ， ， 且 .
翻折过程中, 固定, 绕 旋转,但始终与 垂直; 在平面 内且与 垂直.
因此 垂直于平面 内的两条相交直线 和 ,所以 平面 .
又 平面 ,故 .
(2)以 为原点，建立空间直角坐标系: 方向为 轴正方向， 方向为 轴正方向，垂直于平面 向上为 轴正方向.
由正方形边长 2,得 , .
故 , .
其中 为二面角 的平面角 ,则 的坐标为 .
计算向量: ,
设平面 的法向量 , 平面 的法向量 .
计算得: ，
于是 ,
这两个法向量方向均向上向外,则二面角 的大小 等于这两个法向量夹角的补角,
故 .
17.已知数列 的前 项和为 . 若对每一个 ,有且仅有一个 ,使得 ,则称 为 “ 数列”.
( 1 )若 的前四项依次为 0，1，-1，1，试判断 是否为 “ 数列”，并说明理由:
(2)若 ，试判断 是否为 “ 数列”，并说明理由.
【解析】
( 1 )由题 ，
所以有 ,
故根据 “ 数列” 的定义 不是 “ 数列”.
(2)因为 ，
所以当 时， ；
当 时, ;
则 不满足 ,所以 ,
令 ,即 ,
则当 时,有 ;
当 时,有 : 故 即 ,
则对每一个 ,有且仅有一个 且 ,使得 ,
综上,对任意 ,有且仅有一个 ,使得 ,
所以 为 “ 数列” .
18.已知双曲线 ，左，右焦点分别为 ， .
(1)求双曲线 的离心率；
(2)设 为双曲线 右支上一点(异于顶点)，记 的内心为 .
(i) 求点 的轨迹方程;
(ii) 记 ,若 ,求点 的横坐标.
【解析】(1)由双曲线方程 得 ，离心率 .
(2)(i)设点 为双曲线 右支上异于右顶点的一点，
的内切圆 分别切 于点 ,设 ,
则 ,而 ,
故 ,即 ,
所以 ,即 ,
而 ,所以 ,
易得直线 的方程为 ,
则 ,又 ,
则 ,不妨令点 在 轴上方,去绝对值得 , 解得 ,同理点 在 轴下方,也满足 ,因此 ,
而 ,
所以 ,所以 且 ,
所以 的内心 的轨迹方程为 .
(ii) 由 (i) 知 ,且 .
计算各向量: .
由双曲线定义, ,则 ,
因此 ,
于是 ,
分别计算分量:
因此 .
另一方面, , 计算 与 对应分量之比: , 两者相等,故 与 共线,且 ,所以 , ,解得 (舍) 或 .
(此题第(2)问的第(i)小问，可以用等面积法，求出 ；用几何法，当 与渐近线趋于平行时,确定 )
(第(2)问的第 (ii) 小问,不用证明 和 共线,可直接求出 和 ,进而得 )
19.已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若 在 内恰有一个极值点，求正整数 ;
(3) 当 时,证明 恒成立.
参考数据: .
【解析】(1) 令 ,所以 ,说明 在 上恒有意义.
由 ,令 ,
由于 ,故 ,故 ,即 ,
因此,函数 的单调递增区间为 .
(2)对 求导， ，令 ，则 的极值点即为函数 的零点.
① 当 时， ，
当 时, ;
当 时,依然有 :
当 时, ,其中 单增, , ,则存在 ,
即 .
因此,当 时,函数 无零点.
② 当 时， ，函数 单调递减， ,因此 在 上存在 1 个零点.
③ 当 时， ，函数 单调递增， ， ,因此 在 存在 1 个零点.
综上, 内恰有 1 个极值点,则 .
(3)当 ，不等式 ，可等价变形成 .
一方面,由 (1) 知 在 单调递增, . 下证 ,即证 ,即证 ,即证 ,得证.
另一方面,由 (2) 知,当 时,函数 单调递减, 在 有一个零点 ,则 ,则 ,则 ,
再令 ,其中 ,求导得 ,
变形得 ,
当 时,则 ,
当 时, ,
因此,当 时, ,
当 时, ,
综上,不等式 恒成立,
即当 恒成立 .步频 (单位: )
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长 (单位: )
90
95
99
103
117