2026届湖北省恩施州高中教育联盟高三一诊考试数学试卷含解析

这是一份2026届湖北省恩施州高中教育联盟高三一诊考试数学试卷含解析，共28页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知全集为，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．半正多面体(semiregular slid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A．B．C．D．
4．设为自然对数的底数，函数，若，则( )
A．B．C．D．
5．若，则“”的一个充分不必要条件是
A．B．
C．且D．或
6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
7．已知全集为，集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
9．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
10．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A．B．C．D．
12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是 ．
14．已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．
15．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．
16．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
18．（12分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．
（1）证明：；
（2）若的面积，求的取值范围．
19．（12分）设等比数列的前项和为，若
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
21．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
22．（10分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
2、D
【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体的体积为，
故选：D.
【点睛】
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
3、B
【解析】
根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.
【详解】
执行框图如下：
初始值：，
第一步：，此时不能输出，继续循环；
第二步：，此时不能输出，继续循环；
第三步：，此时不能输出，继续循环；
第四步：，此时不能输出，继续循环；
第五步：，此时不能输出，继续循环；
第六步：，此时要输出，结束循环；
故，判断条件为.
故选B
【点睛】
本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.
4、D
【解析】
利用与的关系，求得的值.
【详解】
依题意，
所以
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
5、C
【解析】
，
∴，当且仅当 时取等号.
故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C．
6、B
【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
7、D
【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,
再由交集的定义求解即可.
【详解】
,
,.
故选:D
【点睛】
本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.
8、C
【解析】
试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系
9、A
【解析】
由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，
再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，
所以，即椭圆的左焦点为，且 ①
直线交轴于，所以，，
因为，所以，所以，
又由点在椭圆上，得 ②
由，可得，解得，
所以，
所以椭圆的离心率为.
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．
10、B
【解析】
先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.
【详解】
解：当 时，，则;当时，
则.设 为函数图像上的两点，
当 或时，，不符合题意，故.
则在 处的切线方程为；
在 处的切线方程为.由两切线重合可知
，整理得.不妨设
则 ，由 可得
则当时， 的最大值为.
则在 上单调递减，则.
故选:B.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.
11、C
【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况，
2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为.
故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：由三角函数定义知，又由诱导公式知，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
14、
【解析】
由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.
【详解】
因为为双曲线：的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，
故，解得，因为，所以.
故答案为
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.
15、
【解析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.
【详解】
解：的实部与虚部相等,
所以,计算得出.
故答案为:
【点睛】
本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.
16、
【解析】
由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围．
【详解】
解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且 是解题的关键，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）,对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;
（2）对求导,分、和三种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.
【详解】
（1）因为,所以,所以,
则,故曲线在点处的切线方程为.
（2）因为,所以,
①当时,在上恒成立,则在上单调递增,
从而成立,故符合题意;
②当时,令,解得,即在上单调递减,
则,故不符合题意;
③当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.
18、（1）见解析；（2）．
【解析】
（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；
（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.
【详解】
（1）设点、，则，
直线的方程为：，
由，消去并整理得，
由韦达定理可知，，，
代入直线的方程，得，解得，
同理，可得，
，，
,代入得，
因此，；
（2）设点到直线、的距离分别为、，则，
由（1）知，，，
，，，
同理，得，，
由，整理得，由韦达定理得，，
，得，
设点到直线的高为，则，
，
，
，解得，因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，
，故，
因为是等比数列，∴，又，所以，
故，所以；
（Ⅱ）由题设可得，所以，
所以，①
则，②
①－②得：，
所以，得证.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）（2）．
【解析】
（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可.
（2）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求.
【详解】
解：（1）设焦距为2c，由题意知：；解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜
①，
，
，②；③；
由①②得：，，
代入③得：，又，故，
因此，直线l的方程为．
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
21、（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
22、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）过点交于点，连接，如下图所示：
因为平面平面，且交线为,
又四边形为正方形，故可得，
故可得平面，又平面，
故可得.
在三角形中，因为为中点，，
故可得//，为中点；
又因为四边形为等腰梯形，是的中点，
故可得//；
又，
且平面，平面,
故面面，
又因为平面，
故面.即证.
（2）连接，，作交于点，
由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，
则；
又因为//，，故可得
即，，两两垂直，
则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，，，
，，
设面的法向量为，则，，
则，
可取，
设平面的法向量为，则，，
则，
可取，
可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
.
【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.