湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题含解析

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这是一份湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了已知函数且且，，下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题单位：恩施州高中教育联盟咸丰一中命题人：杨金煜谢勇谢辉
考试满分：150 分考试用时：120 分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出两个集合后可求它们的交集.
【详解】，故，
故选：C.
2. 设命题，则的否定为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由全称命题的否定即可得解.
【详解】因为命题为全称命题，
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所以该命题的否定为 .
故选：B.
3. 已知，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断充分性，举例说明判断必要性，进而求解.
【详解】由，得，所以充分性成立；
当时，满足，但不满足，所以必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集得出关系，再解分式不等式即可.
【详解】由不等式的解集为，
可得，，即，
所以不等式可化为，即，
所以可得，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：C
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5. 已知函数，则函数的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】，所以 AD 选项错误，
，所以 C 选项错误.
综上所述，B 选项正确.
故选：B
6. 当生物死亡后，机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过 5730 年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果是某生物刚死亡时机体内碳 14 的质量，那么经过年后，
其机体内碳 14 所剩的质量 .考古学家经常利用生物机体内碳 14 的含量来推断古生物死亡
的大致时间.现考古发现某生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的，根据以上知识推断该生物的死亡时间
距今约（）（参考数据：，）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
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【分析】由生物机体内碳 14 所剩的质量，生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的，
列出方程，利用对数运算求出 .
【详解】因为生物机体内碳 14 所剩的质量，且生物机体内碳 14 的含量是刚死亡时的，
则，所以，则，
则，又，
又，，
所以，
解得，
所以该生物的死亡时间距今约年.
故选：C.
7. 已知函数的定义域为，，当时，恒有 .若
，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析条件可得为奇函数且为上的增函数，根据奇函数可得，结合自变量
的大小可得答案.
【详解】令，则，∴ .
令，则，∴ ，故为奇函数.
当时，，
∵当时，恒有，
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∴ ，即，
∴ 为上的增函数.
∵ ，且，
∴ ，即 .
故选：B.
8. 已知函数且且，
，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数的
单调性列式求解即可.
【详解】因为且，
不妨设，则，
则，
所以，
令函数
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则为上的增函数，则
解得 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列选项正确的是（）
A.
B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为
C. 若是第二象限角，则是第一或第四象限角
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数值、扇形面积、象限角、同角三角函数的基本关系式等知识对选项进行分析，从而
确定正确答案.
【详解】A 选项，，
所以，所以 A 选项错误.
B 选项，对应的弧度为，所以扇形的半径为，
所以扇形的面积为，所以 B 选项正确.
C 选项，是第二象限角，则，，
所以是第一或第三象限角，C 选项错误.
D 选项，若，两边平方可得：
由于，所以，即或。
当时，，此时，
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当时，，此时，
综上，若，则（），
所以 D 选项正确.
故选：BD
10. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A
B. 若方程有两个不等实根，则
C. 若方程有四个不等实根，则
D. 方程所有实数根的和为 10
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解.
【详解】画出函数的图象，
对于 A，由的图象可知其关于直线对称，
所以，故 A 选项正确；
对于 B，如图 1，当方程有两个不等实根时，或，故 B 选项错误.
对于 C，若方程有四个不等实根，
由前分析知，根据对称性可知，
而是方程的两个不等实根，所以，
所以，故 C 选项正确.
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对于 D，方程可化为，
则，
令，则，即的图象关于直线对称，
由 A 选项知，的图象也关于直线对称，而，
下面仅讨论当时两个函数图象公共点的情况：
，
如图 2，当时，函数单调递减，单调递增，所以没有公共点；
当时，联立和，得 0，
即，所以曲线和在上仅有一个公共点；
当时，联立和，得（舍去）或
，
所以曲线和在上仅有一个交点；
故的图象与的图象在上有两个公共点，
根据函数对称性，的图象与的图象在上也有两个公共点.
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综上，的图象与的图象共有五个公共点，且关于直线对称，
如图 3，所以方程所有实数根的和为 10，故 D 选项正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A. 若，则函数的最小值为 0 B. 若且，则
C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断 AB；利用函数定义域不对称判断 C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法
判断 D.
【详解】对于 A，当时，函数，
当且仅当 1，即时，等号成立，
所以函数的最小值为 0，故 A 选项正确；
对于 B，由，得，
即（当且仅当 4 时，等号成立），故 B 选项正确；
对于 C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称，
所以函数的图象不关于点中心对称，故 C 选项错误；
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对于 D，在上单调递增，是的三边，
则，，
所以，故 D 选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 函数称为 Gauss 函数，表示不超过实数的最大整数，例如：， .若函
数，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中定义求出的值，即可求得的值.
【详解】因为，
所以；，
.
故答案为： .
13. 已知是圆心在原点，半径为 2 的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周
运动，角速度为，则 2s 时点的坐标为______________.
【答案】
【解析】
【分析】记点是角终边上的一点，求出角；经过 2s，记点是角终边上的一点，根据三
角函数定义，即可求出点的坐标.
【详解】记点是角终边上的一点，
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则，，则；
经过 2s，记点是角终边上的一点，
由题意，
则，，
即点的坐标为 .
故答案为：
14. 正实数 x，y 满足，则的最小值为______________.
【答案】 ##2.5
【解析】
【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解.
详解】由，有，
令函数，因为和都是增函数，则是增函数，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）计算： .
【答案】（1）3；（2）7
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【解析】
【分析】（1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果；
（2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】（1），
.
（2）原式
.
16. 已知 .
（1）若，求的值；
（2）已知的三个内角分别为，且，若，求的
值.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用诱导公式求得正确答案.
【小问 1 详解】
，
因，所以，
.
【小问 2 详解】
由（1）得，
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因为的三个内角分别为，所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以 .
17. 已知函数 .
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）当时，判断函数在区间上的零点个数并证明.
【答案】（1）
（2）唯一一个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得对任意恒成立；讨论，两种情况，即
可求出结果；
（2）当时，，先根据复合函数单调性的判断方法，判断其单调性，
再由零点存在性定理，即可判断出零点个数.
【详解】（1）因为函数的定义域为，
所以对任意恒成立；
当时，不等式可化为，解得，不符合题意；
当时，只需，
解得，
所以实数取值范围为 .
（2）在区间上有唯一一个零点，证明如下：
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当时，，
令，所以函数在区间上单调递增.又因为
在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
而，又，所以，
因为，
又，所以，
所以，结合在区间上单调递增.
所以在区间上有唯一一个零点.
18. 矩形的周长为 20，设 .
（1）求矩形面积的最大值及此时的值；
（2）当矩形为正方形时，将矩形分割成如图 1 所示的四个全等的直角三角形和一个正方形
，若正方形的边长为 1，求；
（3）若，如图 2，把矩形沿某条直线折叠，使得重合，记为，折叠后，折痕与
原矩形边分别交于点的面积为，求的最小值.
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【答案】（1）最大值为 25，此时
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式可求最大值；
（2）设，根据正余弦的平方关系可求该角的正余弦，故可求正切或者根据勾股定理
可求的长，从而求得角的正切值；
（3）利用面积差或等积法可得，再结合基本不等式可求最小值
【小问 1 详解】
设，由题意，，
所以矩形的面积，当且仅当时，等号成立，
所以矩形面积的最大值为 25，此时 .
【小问 2 详解】
设，由题意，，
即，又，
所以，
所以 .
另解：设，则，
在中，，解得，
所以，
所以 .
【小问 3 详解】
因为，所以，设，
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所以，即，
易知直线 PQ 过矩形中心，所以梯形 APQD 的面积为，
所以，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为 .
另解：因为，所以，设，
所以，即，
易证，所以，
所以，所以，
即
，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为 .
19. 中国桥梁建筑的奇迹——四渡河大桥位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县，该桥主桥是一座特大单
跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，两座桥墩之间的钢索构成的曲线形态在数学上被称为悬链线，悬链线在建筑
和工程等领域有着广泛的应用.悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝、两根电线
杆之间的电线、横跨深涧的观光索道的电缆等，这类悬链线对应的函数表达式为是
非零常数，无理数 2.71828…）
（1）当时，悬链线对应的函数又称为双曲正弦函数，记为；当时，悬链
线对应的函数又称为双曲余弦函数，记为 .求证：；
（2）若为偶函数且在上单调递增，请写出一组符合条件的 a，b 的值，并说明理由；
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（3）在（2）的条件下，关于的不等式的解集，求
实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（答案不唯一），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算求证即可；
（2）利用指数函数的单调性及函数单调性的定义求解即可；
（3）利用函数的单调性转化为，再由解集为的子集，列出不等式求解即可.
【小问 1 详解】
证明：由题意，，
所以，
【小问 2 详解】
因为为偶函数，所以，即，
所以，所以，即，
此时，任取且，
所以 .
因为，所以，
所以，所以，
要使在上单调递增，则，可以取 .（答案不唯一）
【小问 3 详解】
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由（2）可知，，
所以原不等式可化为 .
又因为是单调递增的函数，且，
所以原不等式可化为 .
由题意，即，
当时，上式恒成立，即不等式的解集为，不符合题意；
当时，解得，即不等式的解集 .
因为，所以，所以或，
所以实数的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义
理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能
力是关键，对能力要求很高.
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