2026届湖北省八校（鄂南高中、华师一附中高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届湖北省八校（鄂南高中、华师一附中高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了函数的一个单调递增区间是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是（ ）
A．③④B．①③C．②③D．①②
2．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A．B．6C．D．
3．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的一个单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
7．由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )
A．1B．C．D．
8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )．
A．B．C．D．5
10．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．B．0C．1D．3
11．复数（ ）
A．B．C．0D．
12．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A．08B．07C．02D．01
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）
14．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.
15．若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．
16．已知集合，.若，则实数a的值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.
19．（12分）已知，均为正数，且.证明：
（1）；
（2）.
20．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
21．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
22．（10分）如图，在三棱柱中，平面，，且.
（1）求棱与所成的角的大小；
（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
①举反例，如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.
【详解】
①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确；
②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；
③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；
④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.
故选:C.
【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.
2、D
【解析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,
所以该几何体的体积为：,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
3、D
【解析】
先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，
其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，
所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.
故选：D
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4、B
【解析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
解：设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
5、D
【解析】
把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．
【详解】
3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．
故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．
6、D
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.
【详解】
因为
，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.
故选：D
【点睛】
本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.
7、B
【解析】
首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.
【详解】
联立方程：可得：，，
结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：
.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.
8、C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9、C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1
所以|a＋bi|＝，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
10、C
【解析】
先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。
【详解】
因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得 ，
化简得，即
令，所以，故选C。
【点睛】
本题主要考查函数性质奇偶性的应用。
11、C
【解析】略
12、D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.
【详解】
棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.
将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：
则，所以；
将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：
则，所以；
因为，且由诱导公式可得，
所以最短距离为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.
14、(或写成)
【解析】
试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为
考点：函数最值，函数单调区间
15、
【解析】
利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出的单调递减区间．
【详解】
解：幂函数的图象经过点，
则，
解得；
所以，其中；
所以的单调递减区间为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
16、9
【解析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合，，，
，则a的值是9.
故答案为：9
【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.
∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.
∴.
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18、（1）或；（2）
【解析】
（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.
（2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.
【详解】
（1）当时，
原不等式可化为.
①当时，
则，所以；
②当时，
则，所以；
⑧当时，
则，所以.
综上所述：
当时，不等式的解集为或.
（2）由，
则，
由题可知：
在恒成立，
所以，即，
即，
所以
故所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.
（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，
∴.
（2）.
当且仅当时取等号.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；
（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，.
设平面的法向量，则
，即，令，则；
设平面的法向量，则
，即，令，则，
所以.
故锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
21、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
22、（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
试题解析：
解（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
.
，
故与棱所成的角是.
（2）为棱中点，
设，则.
设平面的法向量为，，
则，
故
而平面的法向量是，则，
解得，即为棱中点，其坐标为.
点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
X
0
1
2
P