2026届湖北省第五届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届湖北省第五届高三第一次模拟考试数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了以下四个命题，已知，若，则等于，已知复数满足，则，函数的值域为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
2．已知双曲线：的左、右两个焦点分别为，，若存在点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．5
3．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )
A．60B．80C．90D．120
5．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
6．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ）
A．1B．C．2D．
10．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
12．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.
14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
15．已知函数恰好有3个不同的零点，则实数的取值范围为____
16．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，求曲线与的交点坐标；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.
18．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
19．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
21．（12分）在锐角中，分别是角的对边，，，且．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数）
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
2、B
【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.
【详解】
.选B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.
3、A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。
由有，，解得，所以，
，故选A。
【点睛】
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
4、B
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，故表示直线与截距的倍，
根据图像知：当时，的最大值为，故.
展开式的通项为：，
取得到项的系数为：.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
6、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
7、A
【解析】
由复数的运算法则计算．
【详解】
因为，所以
故选：A．
【点睛】
本题考查复数的运算．属于简单题．
8、D
【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
将将函数的图象向左平移个单位长度，
可得函数
又由函数为偶函数，所以，解得，
因为，当时，，故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、D
【解析】
根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.
【详解】
长方体中，，
点T在棱上，若平面.
则，
则，所以，
则，
所以
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.
10、A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
11、D
【解析】
试题分析：，,故选D.
考点：点线面的位置关系.
12、D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
【点睛】
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.
【详解】
，，解得：，
即在处的切线斜率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
14、
【解析】
直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，故，当时，，
故，解得.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15、
【解析】
恰好有3个不同的零点恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.
【详解】
解：恰好有3个不同的零点恰有三个根，
令，
，在递增；
，
递减，
递增，
时，在有一个零点，在有2个零点；
故答案为：.
【点睛】
已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.
16、
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）或
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；
（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【详解】
（1），
.
由，得，
曲线的直角坐标方程为.
当时，直线的普通方程为
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）由题意知直线的普通方程为，
的参数方程为（为参数）
故上任意一点到的距离为
则.
当时，的最大值为所以；
当时，的最大值为，所以.
综上所述，或
【点睛】
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
【解析】
试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
19、（1），；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
20、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则
；
；
；
；
.
故的分布列为：
所以数学期望（元）
（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）
【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到；
（2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.
【详解】
（1），，
由正弦定理得：，
即，
，，，
又，.
（2）在锐角中，，．
．
，，，，
函数的值域为．
【点睛】
本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.
22、（1）（2）5
【解析】
（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，，得到曲线的极坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解；
【详解】
解：（1）曲线：消去参数得到：，
由，，
得
所以
（2）代入，
设，，由直线的参数方程参数的几何意义得：
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．
0
20
40
60
80