2026届黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三第三次测评数学试卷含解析2

这是一份2026届黑龙江省齐齐哈尔实验中学高三第三次测评数学试卷含解析2，共15页。试卷主要包含了函数的图象大致为，已知函数等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )
A．，b为任意非零实数B．，a为任意非零实数
C．a、b均为任意实数D．不存在满足条件的实数a，b
2．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A．B．C．D．
3．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为
A．B．
C．D．
5．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（ ）
A．1194B．1695C．311D．1095
8．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
9．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
11．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
12．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a1=_____，a1+a2+…+a5=____
14．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.
15．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
16．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.
（1）证明：∥面；
（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.
18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线ax﹣y+5＝0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．
（1）若，求证：⊥；
（2）若二面角的大小为，求线段的长．
20．（12分）已知不等式对于任意的恒成立.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.
21．（12分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；
（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望．
22．（10分）在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.
【详解】
依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有
，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.
故选：A
【点睛】
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
2、A
【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．
【详解】
由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
3、C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
4、B
【解析】
双曲线的渐近线方程为，由题可知．
设点，则点到直线的距离为，解得，
所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B．
5、C
【解析】
先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．
【详解】
由题意得，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．
6、A
【解析】
根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
7、D
【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．
【详解】
时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．
故选：D．
【点睛】
本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．
8、C
【解析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
9、B
【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出
和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】
设,根据图象可知,
,
再由, 取,
∴.
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
∴.
,,
令,则,显然,
∴是的必要不充分条件.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
10、D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
11、A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
12、A
【解析】
设为、的夹角，根据题意求得，然后建立平面直角坐标系，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程，将和转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.
【详解】
由已知可得，则，，，
建立平面直角坐标系，设，，，
由，可得，
即，
化简得点的轨迹方程为，则，
则转化为圆上的点与点的距离，，，
，
转化为圆上的点与点的距离，
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、80 211
【解析】
由，利用二项式定理即可得，分别令、后，作差即可得.
【详解】
由题意，则，
令，得，
令，得，
故.
故答案为：80，211.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
14、
【解析】
易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．
【详解】
，
设，，
令，
当时，，所以单调递减
令，
当时，，所以单调递增
所以当时，
，
，
则
则，
即
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
15、①③④
【解析】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；
对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；
对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，
平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，
所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.
故答案为：①③④.

【点睛】
本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
16、x﹣y＝0.
【解析】
先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得.
故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.
故答案为：x﹣y＝0.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据题意，连接交于，连接，利用三角形全等得，进而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于，连接，
，
≌，
且，
面面，
面，
（2）取中点，连，.由，
面面
面，又由，
以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
为面的一个法向量，
设面的法向量为，
依题意，即，
令，解得，
所以，平面的法向量，
，
又因二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.
18、（2）（x﹣2）2+y2＝2．（2）（）．（3）存在，
【解析】
（2）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.
（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0得到答案.
（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（2，0），计算得到答案.
【详解】
（2）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以 ，即|4m﹣29|＝2．因为m为整数，故m＝2．
故所求圆的方程为（x﹣2）2+y2＝2．
（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，
整理得（a2+2）x2+2（5a﹣2）x+2＝0，
由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣2）2﹣4（a2+2）＞0，
即22a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．
（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，
l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，
所以2+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．
试题解析: (1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．
因为PA＝AB＝，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．
由＝，得N，
由＝，得M，
所以，＝(－1，－1，0)．
因为＝0，所以MN⊥AD
(2) 解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．
所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．
设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，
由，得
其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．
因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，
所以cs＝，即＝，解得λ＝，
从而M，N，
所以MN＝＝．
考点：用空间向量法证垂直、求二面角．
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）法一：，，得，则，由此可得答案；
法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；
（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．
【详解】
解：（1）法一：（当且仅当时取等号），
又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
由題意得，则，解得，
故的取值范围是；
法二：因为对于任意恒有成立，即，
令，易知是偶函数，且时为增函数，
所以，即，则，解得，
故的取值范围是；
（2）由（1）知，，即，
∴
，
故不等式成立．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．
21、（1）（2）分布列见解析，期望为20
【解析】
利用相互独立事件概率公式求解即可;
由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.
【详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,
（2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.
，
，
，
,
所以，的概率分布列为
所以数学期望.
【点睛】
本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
22、（1），（2）
【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意,,
设数列的公比为q,由,可知,
由,得,又,则,
故,
又由,得.
（2）依题意.
,①
则,②
①-②得,
即,故.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
0
10
20
30