黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三数学三模试题（Word版附解析）

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1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）（3+i），其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1﹣x≤x+1≤11﹣x}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，0]B．[0，4]C．[0，5]D．[﹣1，5]
3．（5分）已知向量，满足，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）4月26日，2023北京大兴半程马拉松暨第七届“花绘北京悦跑大兴”半程马拉松赛新闻发布会举行．此次赛事由北京市大兴区人民政府主办，大兴区体育局、大兴区魏善庄镇人民政府共同承办，本届赛事赛道起、终点设在魏庄村，赛道途经北京市半壁店村，选手可在奔跑过程中，感受月季为小镇带来的变化．小张为参加“花绘北京•悦跑大兴”半程马拉松赛（单位：十公里）数据，整理并绘制成折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程的极差小于18
C．月跑步里程的60%分位数为7月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大
5．（5分）将曲线的图象向右平移个单位后得到函数g（x），若g（x）的图象与直线，则这3个交点的横坐标之和为（ ）
A．B．C．πD．
6．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
（参考数据：，π≈3.14）
A．2480m2B．2498m2C．2502m2D．2508m2
7．（5分）已知，，则cs（α+β）的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a＝e0.1，b＝1.2﹣ln1.1，，其中e为自然对数的底数，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，b+c＝3，则bc＝2
D．若a＝2，则△ABC的面积的最小值为
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线y＝2x﹣1上，点P在抛物线上，满足PQ∥x轴，|PQ|＝|QF|，则（ ）
A．p＝1
B．直线PF的倾斜角为60°
C．|PF|＝2
D．点P的横坐标为3
（多选）11．（5分）随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件A＝“第一次为偶数”，B＝“第二次为偶数”，则（ ）
A．P（A）＝1﹣P（B）B．A与B对立
C．B与C相互独立D．
（多选）12．（5分）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l：y＝kx+b为曲线C1：y＝aex（a＞0）和C2：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C1的图象在x轴的上方
B．当a＝1时，lnk+b＝﹣1
C．若b＝0，则
D．当a＝1时，C1和C2必存在斜率为的公切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）二项式的展开式中含x5的系数为 ．
14．（5分）写出一个与两坐标轴和圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0都相切的一个圆的标准方程为 ．
15．（5分）已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，若AB＝2，，则当DP取最小值时，＝ ．
16．（5分）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在点P，满足（O为坐标原点），且△PF1F2的内切圆的半径等于2a，则双曲线E的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝2b1＝2，a2＝2b2，a3＝2b3+2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令，n∈N*，记数列{cn}的前n项积为Tn，证明：．
18．（12分）已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）在区间，其中ω＞0，0＜φ＜π，且．
（1）求y＝f（x）的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点在函数f（x）的图象上（x）的表达式．
19．（12分）铅球起源于古代人类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动．现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目．男、女铅球分别于1896年、1948年被列为奥运会比赛项目．为了更好地在中小学生中推广推铅球这项体育运动，某教育局对该市管辖内的42所高中的所有高一男生进行了推铅球测试（单位：米）近似服从正态分布N（9，σ2），且，．
（1）若从所有高一男生中随机挑选1人，求他的推铅球测试成绩在（8，10）范围内的概率；
（2）从所有高一男生中随机挑选4人，记这4人中推铅球测试成绩在（8，10）范围内的人数为Y；
（3）某高一男生进行推铅球训练，若推n（n为正整数）次铅球（8，10）范围内，请估计n的最小值．
20．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，D1，F分别是BC，B1C1，A1B1的中点，，AB＝2．
（1）证明：B1C1⊥EF；
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C1的正弦值．
21．（12分）已知函数．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：x2+＝1，且椭圆C2过椭圆C1的焦点．过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）若存在直线l，使得AB＝CD
2023年黑龙江省齐齐哈尔实验中学高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）（3+i），其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据复数的乘法运算求出z，再根据复数的几何意义即可得解．
【解答】解：由z＝（2﹣i）（3+i）＝8﹣i，
可得复数z在复平面内所对应的点（7，﹣1）所在的象限为第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|1﹣x≤x+1≤11﹣x}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，0]B．[0，4]C．[0，5]D．[﹣1，5]
【分析】化简集合A与B，再利用集合的交集求解即可．
【解答】解：由A＝{x|x2﹣3x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|1﹣x≤x+1≤11﹣x}＝{x|8≤x≤5}，
可得A∩B＝[0，4]．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合交集运算，属于基础题．
3．（5分）已知向量，满足，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量，满足，，，由求解．
【解答】解：因为向量，满足，，，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
4．（5分）4月26日，2023北京大兴半程马拉松暨第七届“花绘北京悦跑大兴”半程马拉松赛新闻发布会举行．此次赛事由北京市大兴区人民政府主办，大兴区体育局、大兴区魏善庄镇人民政府共同承办，本届赛事赛道起、终点设在魏庄村，赛道途经北京市半壁店村，选手可在奔跑过程中，感受月季为小镇带来的变化．小张为参加“花绘北京•悦跑大兴”半程马拉松赛（单位：十公里）数据，整理并绘制成折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程的极差小于18
C．月跑步里程的60%分位数为7月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大
【分析】对于A，由折线图的变化趋势判断；对于B，由折线图得到月跑步里程的最小值和最大值判断；对于C，利用百分位数的定义求解判断；对于D，由折线图的变化趋势看波动性大小判断．
【解答】解：对于A，由折线图的变化趋势可知，故选项A错误；
对于B，由折线图可知，最大值出现在10月为25，大于18；
对于C，月跑步里程从小到大排列为：2月，3月，5月，7月，11月，10月，故C正确；
对于D，由折线图的变化趋势可知，所以1月至2月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小．
故选：C．
【点评】本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
5．（5分）将曲线的图象向右平移个单位后得到函数g（x），若g（x）的图象与直线，则这3个交点的横坐标之和为（ ）
A．B．C．πD．
【分析】由题意可知函数g（x）的图象关于点对称，又直线过点，由对称性可求这3个交点的横坐标之和．
【解答】解：因为，
所以函数f（x）为奇函数．
为函数g（x）是由函数向右平移，
所以，且函数g（x）的图象关于点．
又由直线过点．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
6．（5分）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为（ ）
（参考数据：，π≈3.14）
A．2480m2B．2498m2C．2502m2D．2508m2
【分析】根据球、圆柱、圆台的表面积公式计算即可．
【解答】解：由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，
而圆台一个底面的半径为r＝1（m），圆台的母线长为，
则，，
，，
所以，
故“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积约为2480m3．
故选：A．
【点评】本题主要考查三视图求表面积，考查转化能力，属于中档题．
7．（5分）已知，，则cs（α+β）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知条件切化弦，整理得出csαcsβ，然后把cs（α﹣β）展开可求出sinαsinβ，从而利用两角和的余弦公式可求解．
【解答】解：由于，且，
则，
整理得，
则，
整理得，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
8．（5分）已知a＝e0.1，b＝1.2﹣ln1.1，，其中e为自然对数的底数，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【分析】该题c＝1.1，a和b的值都大于0，不好直接比较，可根据数的结构特点构造函数，利用函数单调性来比较．
【解答】解：c＝1.1，设f（x）＝x﹣ln（x+4）（其中x≥0），有，
因为x≥2，
所以，
可知函数f（x）在（6，+∞）单调递增，
可得f（0.1）＞f（0）＝6，即0.1﹣ln6.1＞0，
所以有3.2﹣ln1.2＞1.1，即b＞c．
令g（x）＝ex﹣6x+ln（x+1）﹣1（其中x≥7），
有＝（当且仅当x＝4时等号成立），
可知函数g（x）在（0，+∞）单调递增，
有g（0.4）＞g（0），即e0.1﹣7.2+ln1.3﹣1＞0，
所以有e8.1＞1.6﹣ln1.1，即a＞b．
故有a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题属于比较难的比较大小问题，a，b，c三个数值离的很近，不能用基本初等函数的单调性直接判断，所以可考虑将两数作差，根据差式的结构特点，构造合适的新函数，借助新函数的导数判断其单调性，进而判断三个值的大小关系．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．
B．若，则
C．若，b+c＝3，则bc＝2
D．若a＝2，则△ABC的面积的最小值为
【分析】对于A选项，根据，由正弦定理求得判断；
对于B选项，结合A选项，利用正弦定理求解判断；
对于C选项，结合A选项，利用余弦定理求解判断；
对于D选项，利用余弦定理结合基本不等式求解判断．
【解答】解：对于A选项，由正弦定理有，有，有，故A选项错误；
对于B选项，由正弦定理有，有；
对于C选项，由余弦定理有b2+c2﹣bc＝3，有（b+c）2﹣3bc＝3，代入b+c＝3，故C选项正确；
对于D选项，由余弦定理有b5+c2﹣bc＝4≥4bc﹣bc＝bc（当且仅当b＝c＝2时取等号），有，故D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线y＝2x﹣1上，点P在抛物线上，满足PQ∥x轴，|PQ|＝|QF|，则（ ）
A．p＝1
B．直线PF的倾斜角为60°
C．|PF|＝2
D．点P的横坐标为3
【分析】计算焦点F的坐标，从而可得p的值，判断选项A，再由已知条件分析可得△PQF为等边三角形，从而得∠FQA＝30°，∠PFB＝∠QPF＝60°，即可判断选项B，在Rt△AQF，计算|QF|的值，即可得|PF|，判断选项C，利用点P到准线的距离列式计算点P的横坐标判断选项D．
【解答】解：依题意，可得点F的坐标为，A正确；
因为点Q在准线l上，PQ∥x轴，
又|PQ|＝|QF|，∴△PQF为等边三角形，
如图，当点P在第一象限，∠PFB＝∠QPF＝60°，
即直线PF的倾斜角为60°，
若点P在第四象限，同理可得直线PF的倾斜角为120°；
在Rt△AQF中，|QF|＝2|AF|＝2，C正确；
所以点P的横坐标为，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
（多选）11．（5分）随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件A＝“第一次为偶数”，B＝“第二次为偶数”，则（ ）
A．P（A）＝1﹣P（B）B．A与B对立
C．B与C相互独立D．
【分析】利用古典概型求出P（A），P（B），即可判断A；根据对立事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件A∪B表示第一次或第二次为偶数，求出此事件的对立事件的概率即可求出P（A⋃B），即可判断D．
【解答】解：由题意可得，，
所以P（A）＝7﹣P（B），故A正确；
因为事件A，B可以同时发生，故B错误；
因为事件A，B互不影响，B为相互独立事件，
则，
因为事件B∩C表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，
又，所以B与C相互独立；
事件A∪B表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，
所以，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件，属于基础题．
（多选）12．（5分）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l：y＝kx+b为曲线C1：y＝aex（a＞0）和C2：的公切线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C1的图象在x轴的上方
B．当a＝1时，lnk+b＝﹣1
C．若b＝0，则
D．当a＝1时，C1和C2必存在斜率为的公切线
【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线C2的切线方程，可用含k的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线l，即可判断B，设f（x）＝eax，，利用f′（x1）＝g′（x2）＝k，并结合斜率的计算公式，可得判断C，若C1和C2存在斜率为的公切线，则存在m和n使得，，再结合选项B中所得，求出m和n的值判断D．
【解答】解：选项A，由a＞0，ex＞0得aex＞5，可知曲线C1的图象在x轴的上方，故A正确；
选项B，当a＝1时，C5：y＝ex，C2：y＝lnx，
对于C2：y＝lnx，有，
因为直线l：y＝kx+b为曲线C2的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程y＝kx+b中，
有﹣lnk＝1+b，整理得keb+1＝3，可得lnk+b＝﹣1；
选项C，当b＝0时，
设f（x）＝aex，，则f′（x）＝aex，，
所以，，解得x1＝x6＝1，，故C错误；
选项D，当a＝2时x，g（x）＝lnx，则f′（x）＝ex，，
若C7和C2存在斜率为的公切线，，
由选项B可知，keb+1＝1，即，
所以eb+1＝em，，即m＝b+1，，
故当a＝1时，C7和C2必存在斜率为的公切线．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）二项式的展开式中含x5的系数为 10 ．
【分析】先求二项式的展开式的通项公式，再令x的次数为5即可求解．
【解答】解：展开式通项公式为，令，得r＝2，
∴展开式中含x5的系数为．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14．（5分）写出一个与两坐标轴和圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+9＝0都相切的一个圆的标准方程为 （x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 ．
【分析】做出图像，即可求解．
【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣8）2＝1，画图可知，
圆（x﹣7）2+（y﹣1）5＝1和圆（x﹣3）4+（y+3）2＝7和圆（x﹣3）2+（y﹣6）2＝9和（x﹣8）2+（y﹣9）8＝81都与坐标轴和圆C相切．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣8）2＝1或（x﹣4）2+（y+3）8＝9或（x﹣3）3+（y﹣3）2＝2或（x﹣9）2+（y﹣8）2＝81（写出其中一个即可）．
【点评】本题圆的标准方程，属于基础题．
15．（5分）已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，若AB＝2，，则当DP取最小值时，＝ ．
【分析】先判断出点P的轨迹是以AB为直径的两段半圆弧，再判断出当DP取最小值时，P为线段DO与半圆弧的交点，即可求解．
【解答】解：∵，
∴点P的轨迹是以AB为直径的两段半圆弧．
取AB中点O，连接DO，P为线段DO与半圆弧的交点．
此时，，，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
16．（5分）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在点P，满足（O为坐标原点），且△PF1F2的内切圆的半径等于2a，则双曲线E的离心率为 5 ．
【分析】利用直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义找到a与c的关系，从而求出离心率．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，点P在双曲线E的右支上，
由，可知PF1⊥PF2，
又由双曲线的定义有m﹣n＝8a，m2+n2＝6c2，
在Rt△PF1F6中，△PF1F2的内切圆的半径，又由r＝5a，
可得m+n＝4a+2c，
联立解得2+n2＝8c2，
有（3a+c）7+（a+c）2＝4c4，
整理为5a2+4ac﹣c2＝0，
可得（a+c）（5a﹣c）＝0，
有c＝5a，故双曲线E的离心率．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝2b1＝2，a2＝2b2，a3＝2b3+2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令，n∈N*，记数列{cn}的前n项积为Tn，证明：．
【分析】（1）根据等差数列、等比数列通项公式即可求解；（2）求出，判断cn的单调性即可求解．
（2）由已知先判断数列的单调性，然后结合单调性即可求解．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，
由a1＝2b5＝2，有a1＝4，b1＝1，
又由a6＝2b2，有5q＝2（d+1），有q＝d+7，
又由a3＝2b5+2，有2q8＝2（1+3d）+2，有q2＝8d+2，有q2＝7（d+1），
可得q2＝8q，得q＝2或q＝0（舍去），d＝5，
故，bn＝n；
（2）证明：由（1）知：，n∈N*，
则，
当n＝1，5时，cn+1﹣cn＞0；
当n≥6时，cn+1﹣cn＜0，即c4＜c2＜c3＞c8＞c5＞⋅⋅⋅，
又，c2＝5，，c4＝1，，
故，，
当n≥5时，cn＜6，Tn+1＜Tn，
故．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，还考查了数列单调性在数列最值求解中的应用，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）在区间，其中ω＞0，0＜φ＜π，且．
（1）求y＝f（x）的图象的一个对称中心的坐标；
（2）若点在函数f（x）的图象上（x）的表达式．
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案．
（2）由点在函数f（x）的图象上，可得，知函数f（x）在区间上单调递减，再由和，可得，又，可得出ω＝2，即可得出结果．
【解答】解：（1）由函数f（x）在区间上单调，
且，可知，
故y＝f（x）的图象的一个对称中心的坐标为；
（2）由点在函数f（x）的图象上，
有，又由，
，
可知函数f（x）在区间上单调递减，
由函数f（x）的图象和性质，
有，
又，有，
将上面两式相加，有，
有，
又由5＜φ＜π，可得，
则ω＝24k1+8（k1∈Z），
又由函数f（x）在区间上单调，
有，可得0＜ω≤5，
故．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，考查转化能力，属于中档题．
19．（12分）铅球起源于古代人类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动．现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目．男、女铅球分别于1896年、1948年被列为奥运会比赛项目．为了更好地在中小学生中推广推铅球这项体育运动，某教育局对该市管辖内的42所高中的所有高一男生进行了推铅球测试（单位：米）近似服从正态分布N（9，σ2），且，．
（1）若从所有高一男生中随机挑选1人，求他的推铅球测试成绩在（8，10）范围内的概率；
（2）从所有高一男生中随机挑选4人，记这4人中推铅球测试成绩在（8，10）范围内的人数为Y；
（3）某高一男生进行推铅球训练，若推n（n为正整数）次铅球（8，10）范围内，请估计n的最小值．
【分析】（1）根据正态分布的对称性计算指定区间的概率；
（2）根据二项分布计算分布列和方差；
（3）根据二项分布数学期望公式计算n．
【解答】解：（1）因为X～N（9，σ2），
所以，
又因为，
所以，
所以；
（2）由，
有；；
；；
．
故Y的分布列为：
；
（3）由（1）得计算知：，由二项分布可知，又由n为正整数，
故n的最小值为32．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列，以及方差的求解，属于中档题．
20．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，D1，F分别是BC，B1C1，A1B1的中点，，AB＝2．
（1）证明：B1C1⊥EF；
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C1的正弦值．
【分析】（1）先构造平行四边形DGFE，得到EF∥DG，再利用线面垂直得到线线垂直即可证明结果；
（2）利用条件建立空间直角坐标系，先利用向量法的面面角的公式求出二面角的余弦值，再利用平方关系即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图：取A1D1的中点G，连接FG，
依题意FG∥B8D1，且，又∵，∴，
由三棱柱的性质知BD∥B8D1，BD＝B1D2，∴FG∥ED且FG＝ED，
∴四边形DGFE是平行四边形，∴EF∥DG，
又∵三棱柱为正三棱柱，∴B1C1⊥A2D1，B1C2⊥DD1，又A1D3⋂DD1＝D1，A5D1，DD1⊂平面A4DD1，
∴B1C2⊥平面A1D1D，∵GD⊂平面A8D1D，∴B1C5⊥DG，
∵EF∥DG，∴EF⊥B1C1
（2）解：∵△ABC是等边三角形，且边长为4，
∵三棱柱的高为1，以D为坐标原点，，，，y轴，
则，，B（2，0，C1（﹣2，0，1），
∴，，，
设为平面BEF的一个法向量，则，即，
取，则平面BEF的一个法向量，
设为平面C8EF的一个法向量，则，即，
令y2＝5，则平面C1EF的一个法向量，
设二面角B﹣EF﹣C1为θ，
∴，
∴，∴二面角B﹣EF﹣C1的正弦值为．
【点评】本题主要考查直线与直线垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的极值；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）对函数f（x）进行求导、列表、判断函数f（x）的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）通过不等式的性质把原恒成立问题转化为不等式恒成立，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a＝0时，，，
令f′（x）＝3，可得x＝2，
当x变化时，f′（x）
所以f（x）在（0，2）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的极小值为f（2）＝2+ln2，没有极大值．
（2）由恒成立，有，有，
又由函数单调递增，可得a≥1，
下面证明当a≥2时，恒成立，
由可化为，
又由，，有，
故只需证明：不等式恒成立，
令，有x＝t3，上述不等式等价于，
令，
有
＝，
又由（当且仅当t＝1时取等号），
有t8﹣t3+t2+t+5≥t3+t+2＞4，
令h′（t）＞0，可得t＞1，可得7＜t＜1，
可得函数h（t）的单调递增区间为（1，+∞），8），
所以有h（t）≥h（1）＝0，可得不等式，
若恒成立，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：x2+＝1，且椭圆C2过椭圆C1的焦点．过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点．
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）若存在直线l，使得AB＝CD
【分析】（1）根据题意可得a2﹣2＝1，从而即可求得椭圆C1的标准方程；
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设l：y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立直线l与椭圆C1，得到关于x的一元二次方程，从而得到x1+x2，x1x2；同理联立直线l与椭圆C2，得到x3+x4，x3x4，从而求得|AB|，|CD|，再根据，从而可得到t的取值范围．
【解答】解：（1）因为椭圆C2过点（±1，4）2﹣2＝7，
所以a2＝3，即椭圆C7的标准方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx+t4，y1），B（x2，y3），C（x3，y3），D（x7，y4），
联立直线l与椭圆C1，，消去y2+2）x2+6ktx+2t2﹣6＝3，
则，，Δ＝（4kt）2﹣4（4k2+2）（5t2﹣6）＞7，即3k2﹣5t2+2＞3，
联立直线l与椭圆C2，，消去y6+2）x2+2ktx+t2﹣2＝3，
则，，Δ＝（3kt）2﹣4（k6+2）（t2﹣8）＞0，即k2﹣t7+2＞0，
所以，
，
因为，所以，
即，平方整理得，
因为k2+1≥2，所以．
【点评】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．Y
5
1
2
5
4
P
x
（0，3）
2
（2，+∞）
f′（x）
﹣
3
+
f（x）
单调递减
极小值
单调递增