2026届黑龙江省尚志中学高考临考冲刺数学试卷含解析

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
2．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第三象限
C．的共轭复数D．
3． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．10D．
4．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A．3B．C．D．5
6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）
A．48B．36C．24D．12
7．我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）
A．400米B．480米
C．520米D．600米
8．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A．B．C．D．
9．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
10．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A．P1•P2＝B．P1＝P2＝C．P1+P2＝D．P1＜P2
11．是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．
14．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.
15．已知数列的前项满足，则______.
16．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由．
18．（12分）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
19．（12分）已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.
20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.
21．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
22．（10分）已知，，求证：
（1）；
（2）.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
2、D
【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.
【详解】
因为，，，所以的周期为4，故，
故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共
轭复数为，C错误；，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
3、D
【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.
【详解】
根据几何概型：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4、C
【解析】
利用数量积的定义可得，即可判断出结论．
【详解】
解：，，，
解得，，，解得，
“”是“”的充分必要条件．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
5、B
【解析】
先求出，再利用求出，再求.
【详解】
解：
由，所以
，
，，
故选：B
【点睛】
考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.
6、C
【解析】
由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。
【详解】
，故选C.
【点睛】
框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。
7、B
【解析】
根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.
【详解】
设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：
由题意可得，解得；
且满足，
故解得塔高米，即塔高约为480米.
故选：B
【点睛】
本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.
8、A
【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．
【详解】
由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
9、D
【解析】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
10、C
【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.
11、D
【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.
【详解】
因为是定义在上的增函数，故.
又有意义，故，故，所以.
令，则，
故在上为增函数，所以即，
整理得到.
故选：D.
【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.
12、D
【解析】
先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数，
因为，
所以，
所以为奇函数，
当时，，所以在上单调递减，
所以在R上单调递减.
因为存在，
所以，
所以，
化简得，
所以，即
令，
因为为函数的一个零点，
所以在时有一个零点
因为当时，，
所以函数在时单调递减，
由选项知，，
又因为，
所以要使在时有一个零点，
只需使，解得，
所以a的取值范围为，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.
【详解】
，，
和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，
，即，同理可得：，
，，
点的轨迹方程为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.
14、1
【解析】
由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．
【详解】
由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，
所以，即①，
把代入，得，即②
又③
联立①②③，得．
所以．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．
15、
【解析】
由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法．
【详解】
∵①，
∴时，②，
①－②得，
∴，
又，
∴（）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解．
16、
【解析】
先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.由正弦定理得.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） （2）没有，理由见解析
【解析】
（1）求导，研究函数在x=0处的导数，等于切线斜率，即得解；
（2）对f(x)求导，构造，可证得，得到，即得解
【详解】
（1）由题意得，
∵曲线在点处的切线与直线平行，
∴切线的斜率为，解得．
（2）当时，，
，
设，则，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又函数，
故恒成立，
∴函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点．
【点睛】
本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；
（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．
【详解】
解：（1）设的公差为，由题设得
因为，
所以
解得，
故．
（2）由（1）得．
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
由得，
解得．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．
19、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；
（2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.
根据题意，可得，解之得，
所以.
（2）由（1）可知，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵，
①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.
②若令，得有两个极值点，
∵，∴，∴.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴极大值为.，又，
∴在(0，16)上单调递增，
∴，
∴有唯一零点.
综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.
20、（1）；（2）或
【解析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知.
，
直线的方程为
∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为
解得或(舍去)
，
∴椭圆的方程为
（2）设
.
∴点为的重心，
∵点在圆上，
由得
，
代入方程，得
，
即
由得
解得.
或
【点睛】
本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.
21、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．
【解析】
试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期．
（2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
22、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）结合基本不等式可证明；
（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．
【详解】
（1）∵，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴；
（2）由基本不等式，
∴，同理，，
∴，当且仅当a=b=c等号成立
∴．
【点睛】
本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．