2026届黑龙江省佳木斯市建三江管理局第一中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
2．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．在展开式中的常数项为
A．1B．2C．3D．7
5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）
A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长
B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上
C．从年至年，中国的总值最少增加万亿
D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年
6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）

A．B．C．D．
7．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．设函数，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．
10．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）
A．120种B．240种C．480种D．600种
11．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.
14．如图，的外接圆半径为，为边上一点，且，，则的面积为______.
15．的展开式中，的系数为_______（用数字作答）.
16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为
______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
（参考公式其中）
18．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
19．（12分）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
20．（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
Ⅰ求证：平面PBD；
Ⅱ求证：．
21．（12分）已知在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，为的中点，连接，为的中点，连接.
（1）求证：.
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
2、D
【解析】
根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.
【详解】
长方体中，，
点T在棱上，若平面.
则，
则，所以，
则，
所以
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.
3、D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
【点睛】
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
4、D
【解析】
求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。
【详解】
展开项中的常数项及含的项分别为：
,，
所以展开式中的常数项为：.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。
5、C
【解析】
观察图表，判断四个选项是否正确．
【详解】
由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．
【点睛】
本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．
6、C
【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
【点睛】
本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.
7、B
【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.
【详解】
抛物线，则焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可得，
圆，圆心为，半径为，
点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，
则的周长为，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.
8、B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
9、A
【解析】
由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．
【详解】
，
时，，，∴，
由题意，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．
10、B
【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；
将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种
本题正确选项：
【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.
11、B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
12、B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、21 3892
【解析】
根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积.
【详解】
如图所示：
正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，
截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺，
所以，
解得，
所以该正四棱台的体积是
，
故答案为：21；3892.
【点睛】
本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题.
14、
【解析】
先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.
【详解】
依题意可得，由正弦定理得，即，由图可
知是钝角，所以，，在三角形ABD中，，
，在三角形ADC中，由正弦定理得即，
所以，，故，，，故的面积为
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.
15、60
【解析】
根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数.
【详解】
因为，
所以，
则所求项的系数为.
故答案为：60
【点睛】
本题考查了二项展开式通项公式的应用，指定项系数的求法，属于基础题.
16、
【解析】
先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.
【详解】
解：,，
,
，
设球O1的半径为，由题得，
所以棱柱的侧棱为.
由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，
所以球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差
【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.
【详解】
（1）
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
所以，的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故，.
【点睛】
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
【解析】
试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
20、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD. （2）先证明平面，再证明BD⊥FG．
详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
，
又平面，平面，所以平面
（II）因为菱形ABCD，所以，
又PA⊥面ABCD，平面，所以，
因为平面，平面，且，
平面，
平面，∴BD⊥FG .
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.
21、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接，证明，得到面，得到证明.
（2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为平面的法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）连接，在四边形中，，平面，
面，，，面，
又面，，
又在直角三角形中，，为的中点，，，面，面，.
（2）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设为平面的法向量，，，，，令，则，，，
同理可得平面的一个法向量为.
设向量与的所成的角为，，
由图形知，二面角为锐二面角，所以余弦值为.
【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
22、（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设
【解析】
（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.
【详解】
（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）得，当，时，可得①，
②
②①得，，
则有，即，，.
因为，由①得，，所以，
所以，.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）得，所以，.
假设存在等差数列，其通项，
使得对任意，都有，
即对任意，都有.③
首先证明满足③的.若不然，，则，或.
（i）若，则当，时，，
这与矛盾.
（ii）若，则当，时，.
而，，所以.
故，这与矛盾.所以.
其次证明：当时，.
因为，所以在上单调递增，
所以，当时，.
所以当，时，.
再次证明.
（iii）若时，则当，，，，这与③矛盾.
（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.
当时，因为，，
所以对任意，都有.所以，.
综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.
【点睛】
本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45