2026届黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知向量与向量平行，，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．不充分不必要
3．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
4．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4)D．[0,4]
5．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（ ）
A．B．2C．D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．84
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A．B．6C．D．
8．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量与向量平行，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
12．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.
14．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____.
15．安排名男生和名女生参与完成项工作，每人参与一项，每项工作至少由名男生和名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）.
16．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.
18．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
19．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
20．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
21．（12分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：
.
22．（10分）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
Ⅰ求证：平面PBD；
Ⅱ求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数．
【详解】
画出函数
令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个
故选：D
【点睛】
本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．
2、B
【解析】
由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案.
【详解】
,
不能确定还是，
，
当时，存在，，
由
又可得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.
3、D
【解析】
可以是共4个，选D.
4、B
【解析】
作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
5、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．
【详解】
解：在复平面内所对应的点在虚轴上，
，即．
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
6、B
【解析】
画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.
【详解】
该几何体的直观图如图所示：
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
7、D
【解析】
用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得.
【详解】
执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为.
故选D．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.
8、D
【解析】
利用复数模的计算、复数的除法化简复数，再根据复数的几何意义，即可得答案；
【详解】
，
对应的点，
对应的点位于复平面的第四象限.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.
9、D
【解析】
先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.
【详解】
当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
10、B
【解析】
设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.
【详解】
设，且，，
由得，即，①，由，②，
所以，解得，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.
11、D
【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.
【详解】
设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，
由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，
又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，
利用球的性质可得，
又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，
所以球心到底面的距离为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
12、A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由于区间上的值小于0恒成立，
所以（）.
所以，
由于，所以，
由于，所以令得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14、（，）
【解析】
求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【详解】
解：AB的斜率k，|AB|
5，
设△ABC的高为h，
则∵△ABC的面积为5，
∴S|AB|hh＝5，
即h＝2，
直线AB的方程为y﹣ax，即4x﹣3y+3a＝0
若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．
15、1296
【解析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可.
【详解】
由于每项工作至少由名男生和名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有种.
故答案为：1296
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
16、
【解析】
根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.
【详解】
由题意得，
将其代入椭圆方程得，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.
【详解】
（1）由曲线C的参数方程（为参数），
可得曲线C的普通方程为，
因为，
所以曲线C的极坐标方程为，
即.
（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，
曲线C的普通方程为，
所以当最大时，直线l经过圆心.
直线l的斜率为，方程为，
所以直线l的直角坐标方程为.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.
18、（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
【点睛】
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．
【详解】
（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；
（Ⅲ）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，，，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可．
【详解】
解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，
当时，f′（x）＜2，当时，f′（x）＞2，
所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）设，
则，
因为x≥2，故，
（ⅰ）当a≥1时，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）单调递减，
而g（2）＝2，所以对所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；
（ⅱ）当1＜a＜1时，2＜1﹣a＜1，若，则g′（x）＞2，g（x）单调递增，
而g（2）＝2，所以当时，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
（ⅲ）当a≤1时，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）单调递增，
而g（2）＝2，所以对所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；
综上，a的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an•an+1，由a1＝1得，an≠2，
所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
故，，，
⇔，
由（Ⅱ）知a＝1时，，x＞2，
即，x＞2．
法一：令，得，
即
因为，
所以，
故．
法二：⇔
下面用数学归纳法证明．
（1）当n＝1时，令x＝1代入，即得，不等式成立
（1）假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，不等式成立，
即，
则n＝k+1时，，
令代入，
得
，
即：，
由（1）（1）可知不等式对任何n∈N*都成立．
故．
考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明．
22、（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
分析：（1）先证明，再证明FG//平面PBD. （2）先证明平面，再证明BD⊥FG．
详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
，
又平面，平面，所以平面
（II）因为菱形ABCD，所以，
又PA⊥面ABCD，平面，所以，
因为平面，平面，且，
平面，
平面，∴BD⊥FG .
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.