江苏省南通市2026届高三下学期考前练习卷（四模）数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份江苏省南通市2026届高三下学期考前练习卷（四模）数学试卷含解析（word版+pdf版），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
2. 已知数列 为等差数列， ，则
A. 2 B. 4 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】 为等差数列, .
3.已知平行四边形 的两条对角线相交于点 ,设 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 .
4.某研究所研究耕种深度 (单位:cm) 与一种农作物每公顷产量 (单位:t) 的关系, 所得数据资料如下表:
发现 与 之间具有线性相关关系,其经验回归方程为 ,则
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
【解析】 ,经验回归方程过 .
5.设 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在 单调递增, ,
.
6.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 点在 上,有下列四个命题:
甲: ; 丙: ;
乙: ; 丁: 到 的距离为 4 .
如果只有一个假命题, 则该命题是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】 到 的距离与 相等,乙丁一真一假,
乙真丁假: 抛物线 ,甲乙丙都真命题.
7.在平面四边形 中， ，将该四边形绕 所在直线旋转一周,所得几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,
上圆锥体积 ,下圆台体积 .
8.已知函数 的定义域为 ,其图象是连续曲线,对任意的正实数 , 在 上是增函数,则
A. 在 上单调递增 B. 在 上不单调
C. 可能存在最大值 D. 可能存在最小值
【答案】D
【解析】方法一: 在 上单调递增,
则 在 上单调递增 时, 在 上单调递增,但 在 上不是单调增的, 错.
此时可知 时满足 在 上单调递增, 有最小值, 对.
时 单调递增, 单调递增, B 错.
单调递增, 至多有一个极小值点,无极大值点,无最大值, C 错.
方法二: 取任意
所以对任意 ,至少有 或
因此 不可能在 上存在最大值, 错.
取 ,则
,所以 在 上递增,但 在 上不单调,且最小值为 0 .
所以 错, 对.
取 ,则
,所以 在 上递增,且 在 上单调递增. 所以 错.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ,且 ,则
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】 ,
A 对.
，B 对.
, C 错.
, D 对.
10.已知函数 的图象经过点 ,则
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】 过
对 错.
对于
, B 对.
对于 不关于 对称,则 , 错.
对于 对.
11.在平面直角坐标系 中, 是异于 两点的动点,若直线 斜率的乘积为定值 ,则下列说法正确的是
A. 当 时,点 在某双曲线上
B. 当 时, 面积的最大值为 4
C. 存在 ,存在点 使得 为锐角
D. 任意 ,对任意点 都有 的斜率小于
【答案】ACD
【解析】方法一: ,
时 在双曲线 上, A 对.
点轨迹: ,
错.
点轨迹为椭圆 (或圆), 时 为锐角, 对.
点轨迹为双曲线,渐近线 , D 对.
方法二: 设 ,直线 斜率存在,则 ,
当 时, ,点 在双曲线上, 正确.
当 时,
错误.
,
取 ,所以 正确.
任意 ，由 得 ，
,故 OP 的斜率小于 , D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.写一个到直线 的距离相等的点的坐标________.
【答案】
【解析】到 距离相等的点在 上,取 .
13.某数学答题闯关游戏, 共 5 道题, 若答对 2 道题就结束游戏, 否则一直答完 5 道题. 甲同学每道题答对的概率都为 ,且各题是否答对互不影响. 在答完 4 题就结束游戏的条件下，第 2 题答对的概率为_______.
【答案】
【解析】记答完 4 题就结束游戏为 ,记第 2 题答对为
14.在锐角 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 的最小值为________.
【答案】8
【解析】方法一: ,
,
令
.
方法二: 由正弦定理,
又
所以
设 ,则
锐角三角形中 ，所以 ，得 .
令 ,则 ,且
,当 时取等，此时 为方程 的两根, 均为正数,可取. 故 的最小值为 8 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，在正三棱柱 中， 是 的中点.
(1)证明: ；
(2)若 ，直线 与平面 的所成角为 ，求点 到平面 的距离.
【解析】 （1）在正三棱柱中，
因为是正三角形，是的中点，
所以．
又因为平面平面，
所以．
因为平面，
所以平面．
因为平面，所以．
（2）方法一：
在正中，因为，所以．
连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角，
所以，所以．
所以．
在中，由余弦定理，
得，所以，
所以的面积．
设点到平面的距离是，则，
解得，所以点到平面的距离是．
方法二：
设，过作交于点，
由（1）平面平面，所以．
又因为，
所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，所以，
所以．
因为，
设平面的法向量，因为，
令，则，
所以是平面的一个法向量．
因为，所以，
所以点到平面的距离是．
16.某学校鼓励学生周末使用人工智能平台进行探究性学习，现从全校学生中抽取了容量为 100 的样本，得到某周末学生线上学习的时间，经统计绘制成如下频率分布直方图.
(1)试估计该校学生周末线上学习时间的中位数 及学习时间不小于 3 小时的频率;
(2)从该校学生中随机抽取 8 人，周末线上学习时间不小于 3 小时的人数记为 ， 以样本中周末线上学习时间不小于 3 小时的频率作为该事件的概率, 当 最大时,求 的值.
【解析】（1）因为每组小矩形的面积之和为 1 ．
学习时间小于 3 小时的频率为，
学习时间小于 3.5 小时的频率为
所以中位数在内，由，
解得小时．
由频率分布直方图可知，
学习时间不小于 3 小时的频率为．
所以估计该校学生周末线上学习时间的中位数为 3.125 小时，学习时间不小于 3小时的频率为 0.6 ．
（2）从全部高三年级学生中随机抽取 8 人，线上学习时间不小于 3 小时的人数为，
所以．
因为．
所以当时，；
当时，．
所以最大．
故当时，最大．
17.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,且 . 直线 过点 且与 相交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 ；
(3)若 ，求 .
【解析】
（1）设的焦距为，则，所以．
因为，所以．
因为，所以的方程是．
（2）设，则的面积，所以．
因为，所以．
因为，
所以．
（3）方法一：
因为，所以设，则．
在中，，
在中，．
因为，所以，
所以，解得．
所以，
在中，．
方法二：
若直线与轴重合，显然不成立；
设直线，由
得，
所以．
因为，所以，所以，
由
解得．
由对称性不妨设，则，则．
因为，
所以．
所以．
18.已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若函数 存在两个极值点.
(i) 求 的取值范围;
(ii) 设 的最大值为 在 上的最大值为 ,若 ,求 的值.
【解析】（1）因为的定义域为，且．
所以当时，递增；当时，递减．
综上，的增区间为，减区间为．
（2）（i）因为
由（1）知，时，，
若，则在和上递减，无极值点，不合题意；
若，因为，
令，则，
所以在上递减，所以，即，
所以存在，当时，递减；当时，递增．所以是的极小值点．
因为，所以，所以存在，当时，递增；
当时，递减．所以是的极大值点．
所以时，有两个极值点．
综上，的取值范围是．
（ii）由（1）知，．
由（i）时，取得最大值，此时，
所以，
※
所以，
所以，代入（※）式得，解得，
所以．
19.已知数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,设集合 ,对 的任意非空子集 ,记 的所有元素和为 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ，证明: ；
(3)若 ，从下面两个结论中选择一个证明:
① 的充要条件是 ；②不存在 ，使得 .
注: 若选择两个结论分别证明, 则按第一个证明计分.
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以．
（2）证明：因为，所以，
因为，
所以，
所以．
（3）若选①．
充分性：若，由定义，显然成立．
必要性：若，记集合的最大项为，集合的最大项为，
假设，则，所以，
由（2）知，，所以，矛盾．
假设，类似可得，矛盾．
所以．
记集合去掉后得到集合，记的最大项为，集合去掉后得到集合，记的最大项为
同上分析可得．
以此类推，集合和中元素完全相同，即．
若选②．
假设存在，使得．
记数列的前项和为，因为，
所以，
设的最大元素为，则，
若，则，矛盾．
若，设去掉后得到集合，则，
所以，矛盾．
综上，不存在，使得．耕种深度
2
3
5
6
每公顷产量
m
5
7
8