江西吉安市四所省重点中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试题（含解析）高考模拟

这是一份江西吉安市四所省重点中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试题（含解析）高考模拟，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（ ）
A. 1B. 3C. iD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解.
【详解】∵，∴复数的虚部为3.
故选：B.
2. 将改写成的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用角度制与弧度制的互化公式，即可求解.
【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得．
故选：D.
3. 在中，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D.
【详解】设三边所对的角分别为，
对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确；
对于C，当时，满足，但，故C错误；
对于D，由A知，，所以，
又，，，故D正确．
故选：C．
4. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可.
【详解】由图可得：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
5. 在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案.
【详解】，
由余弦定理得，
解得，舍去，
则的面积为.
故选：A.
6. 已知，，且，，则为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【详解】因为，，所以，
由同角三角函数的基本关系得，
由两角和的正切公式得，
而，，可得，
故，因此．
7. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可.
【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选：C
8. 在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理可求，设，在，中利用正弦定理列方程可求，再结合面积公式表示，，由此可求结论.
【详解】在中，由余弦定理，，
因为，
所以，即，
又因为，所以．
设，因为，，
则，，，
在中，由正弦定理，，即，
在中，由正弦定理，，即，
又，所以，
所以，
所以，
即，因为，
所以，
所以，
所以，，
因为，
所以．
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 不等式的解集为
D. 当，满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】由图象知，最小正周期为，则，
将代入中，得，得，，
又，则，所以该函数的解析式为．
对于A，，故A正确；
对于B，由的对称轴为，，得，，
取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，由，则，即，，
解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误；
对于D，根据函数的解析式画图如下，
由，满足，
则，所以，故D正确．
10. 已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是（ ）
A. 若向量与同向，，则点的坐标为
B. 若，且，则向量的坐标为
C. 若，，则
D. 若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】运用向量共线、向量模长、向量垂直、向量夹角等概念及运算．通过已知条件，结合向量的坐标运算和相关公式来逐一判断各个选项的正确性．
【详解】对于A，向量与同向，所以，，又，
所以，所以，又，所以，故A正确；
对于B，若，且，则向量的坐标为或，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，若，且与的夹角为锐角，则与夹角为锐角，
所以，且，，故D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为2
C. 函数关于对称D. 函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简得函数，即可得周期和最值，将代入函数判断C；由于，根据余弦函数的单调性判断D.
【详解】函数
，
所以函数的最小正周期为，最大值为，A、B正确；
当时，，
不是最值，C错误；
当时，，
因为余弦函数在上单调递增，D正确.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，
解得：，所以，
所以在上的投影向量为.
13. 已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件结合扇形的弧长及周长公式，列方程求出弧长和半径，进而可求得扇形的面积.
【详解】根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10，
设扇形的半径为，弧长为，面积为，
则，解得，，
所以，扇形的面积.
14. 已知，若，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为z+3−4i=z−−3+4i=1 ，
所以复数在复平面对应的点到点的距离为1，
则复数在复平面对应的点的轨迹为以C−3,4为圆心，为半径的圆，
而表示到原点的距离，且OC=−32+42=5 ，则z的最小值为.
四．解答题：本题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解.
【小问1详解】
由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
【小问2详解】
由复数为实数，可得，
解得或．
【小问3详解】
由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16. 已知为锐角，为钝角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正切的倍角公式，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系、商数关系和倍角公式，求得，利用正切的差角公式得，结合角的范围可得，即可求解.
【小问1详解】
因为，则.
【小问2详解】
因为为锐角，，可得，
由，可得，
所以，则，
又因为，所以，而，
可得，所以，则.
17. 在平面直角坐标系中，已知，，，．
（1）的平分线与交于点，求点的坐标．
（2）若，为与的交点．
①若，求；
②求的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由题干条件易得D点坐标，由角平分线定理可得，由此可写出点的坐标；
（2）①时，易得E点坐标，从而可写出的坐标，利用数量积可得；
②设，写出的坐标，得到关于的二次函数，由二次函数知识可知，在对称轴处取得最小值.
【小问1详解】
由题意可得，所以，由角平分线定理可知，
所以，故点.
【小问2详解】
①因为为中点，所以，，，
则，，，
所以；
②设，则，
故，此为关于的二次函数，
对称轴为，即当时，取得最小值．
18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
（1）求角的值；
（2）若，的面积为，求的值；
（3）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解；
（3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解.
【小问1详解】
在中，，∴由正弦定理得，化简得，
∴由余弦定理可得.
又，所以.
【小问2详解】
由（1）知.
因为的面积为，解得.
由（1）可得，所以，即，
所以，解得（舍去）.
【小问3详解】
由（1）知.
由，得.
因为，所以，所以，即.
，
由正弦定理可知.
19. 在中，，为边上两点，，，．
（1）若，，，用，，的三角函数值表示的值；
（2）若，，求的值；
（3）若，．
①求的值；
②求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②27.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，先在中根据正弦定理求出EA，再在中用正弦定理求出EB，进而得到DE；另一种方法是通过，结合正弦定理求出BC从而得到DE．
（2）先在用余弦定理得出，再根据判断是正三角形．过作DE垂线，利用正三角形性质得到，最后根据正切定义表示出与，求出比值．
（3）通过已知条件得出边的比例关系，再利用三角形三边关系确定边的取值范围，进而求出三角形面积的表达式，最后根据二次函数性质求面积最大值．
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：，，
在中由正弦定理得：，
，．
法二：．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
在中，，
所以为正三角形，过作的垂线，垂足为，
，，则．
【小问3详解】
由，，，，
所以，
，
两式相乘得，所以
设，则，由，解得，
在中，，
则，
，
由，得，
当时，面积的最大值为27．