2026届河南省平顶山市汝州市实验中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2026届河南省平顶山市汝州市实验中学高三冲刺模拟数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了函数，已知复数是正实数，则实数的值为，函数y=sin2x的图象可能是，已知的垂心为，且是的中点，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题
①的值域为
②的一个对称轴是
③的一个对称中心是
④存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
3．已知集合，则为（ ）
A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]
4．已知集合，集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．函数（且）的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数是正实数，则实数的值为( )
A．B．C．D．
7．函数y=sin2x的图象可能是
A．B．
C．D．
8．已知的垂心为，且是的中点，则（ ）
A．14B．12C．10D．8
9．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A．B．C．D．
10． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A．56383B．57171C．59189D．61242
11．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
12．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
14．已知实数满足则的最大值为________.
15． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
16．双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求的最大值.
18．（12分）在中，，是边上一点，且，.
（1）求的长；
（2）若的面积为14，求的长.
19．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
20．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
（Ｉ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的取值范围.
21．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
22．（10分）如图所示，四棱柱中，底面为梯形，，，，，，.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
【详解】
由题,,
则向右平移个单位可得,
,的值域为,①错误；
当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；
当时,,所以的一个对称中心是,③正确；
,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
2、D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
3、B
【解析】
先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
所以，则，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
4、B
【解析】
求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.
【详解】
由，
所以，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.
5、D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
6、C
【解析】
将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.
【详解】
因为为正实数，
所以且，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查复数的基本定义，属基础题.
7、D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8、A
【解析】
由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.
【详解】
因为为的垂心，所以，
所以，而，
所以，
因为是的中点，
所以
．
故选：A
【点睛】
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
9、A
【解析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】
由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
10、C
【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，
公差为的等差数列，记数列
则
令，解得.
故该数列各项之和为.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的应用，属基础题。
11、C
【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12、A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、丙
【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．
考点：反证法在推理中的应用.
14、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
15、
【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.
【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.
故答案为：
【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、6
【解析】
由题得 所以焦距,故第一个空填6.
由题得渐近线方程为.故第二个空填.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；
（2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定.
【详解】
（1）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以.
（2）当时，.
则，
令，则，
所以在上单调递减.
由于，，所以存在满足，即.
当时，，；当时，，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】
（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；
（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.
18、（1）1；（2）5.
【解析】
（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
（1）据题意，，且，
所以.
所以
.
在中，据正弦定理可知，，
所以.
（2）在中，据正弦定理可知，
所以.
因为的面积为14，所以，即，
得.
在中，据余弦定理可知，，
所以.
【点睛】
本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；
（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，.
设平面的法向量，则
，即，令，则；
设平面的法向量，则
，即，令，则，
所以.
故锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ｉ）根据，利用二倍角公式得到，再由辅助角公式得到，然后根据正弦函数的性质求解.
（Ⅱ）根据（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.
【详解】
（Ｉ）因为，
所以，
，
，
或，
或，
因为，
所以
所以；
（Ⅱ）由余弦定理得： ，
所以，
所以，当且仅当取等号，
又因为，
所以，
所以
【点睛】
本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．
（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：（Ⅰ ）取中点，连结、，
∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，∴，
在中，，
又∵ 为的中点，∴，
又∵ ，∴．
解：（Ⅱ）∵，，，
∴ ，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴ ，，，
设面的法向量，
则，取，得，
同理，得平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
∴ 二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．
22、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点为，连接，，，，根据线段关系可证明为等边三角形，即可得；由为等边三角形，可得，从而由线面垂直判断定理可证明平面，即可证明.
（2）以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：取中点为，连接，，，如下图所示：
因为，，，
所以，故为等边三角形，则.
连接，因为，，
所以为等边三角形，则.
又，所以平面.
因为平面，
所以.
（2）由（1）知，
因为平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易求，则，，，，
则，，.
设平面的法向量，
则即令，则，，
故.
设平面的法向量，
则则
令，则，，故，
所以.
由图可知，二面角为钝二面角角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.