2026届河南省新乡一中高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届河南省新乡一中高三适应性调研考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设等差数列的前项和为，若，则，函数在上的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是
A．B．C．D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
6．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）
A．1B．C．2D．3
8．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
9．函数在上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A．B．C．D．
11．已知实数x，y满足，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
12．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数为虚数单位）的虚部为__________．
14．某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.
15．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
16．已知非零向量的夹角为，且，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C:（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.
18．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）若点在直线上，求直线的极坐标方程；
（2）已知，若点在直线上，点在曲线上，且的最小值为，求的值.
20．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
21．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
22．（10分）等比数列中，．
(Ⅰ)求的通项公式；
(Ⅱ)记为的前项和．若，求．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【详解】
，令，得，．
其单调性及极值情况如下：
若存在，使得，
则（如图1）或（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
2、C
【解析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.
【详解】
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是；
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率．
故选：C
【点睛】
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
3、B
【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为，
.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4、B
【解析】
求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由，得，则集合，
所以，.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.
5、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
6、B
【解析】
求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．
【详解】
解：令，则，
则，
故，如图示：
由，
得，
函数恒过，，
由，，
可得，，，
若方程有唯一解，
则或，即或；
当即图象相切时，
根据，，
解得舍去），
则的范围是，
故选：．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
7、C
【解析】
连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.
【详解】
连接AO，由O为BC中点可得，
，
、、三点共线，
，
.
故选：C.

【点睛】
本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
8、A
【解析】
由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.
【详解】
由图可知，，
又，，
又，，，
为了得到这个函数的图象，
只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，
得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.
故选:A
【点睛】
本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.
9、C
【解析】
根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.
【详解】
由可知函数为奇函数.
所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；
当时，，
，排除选项D，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.
10、A
【解析】
阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.
【详解】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
【点睛】
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.
11、D
【解析】
设，，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数，满足，
设，，
，
恒成立，
，
故则的最小值等于.
故选：．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12、A
【解析】
设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为，有，得.
双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
所以，则，即，故，即，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
试题分析：，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
14、0.42
【解析】
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.
【详解】
由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高二家长满意等级为不满意的概率为，满意的概率为，非常满意的概率为，
高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：
1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为；
2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为；
3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为.
由加法公式，知事件发生的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.
15、
【解析】
设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
16、1
【解析】
由已知条件得出,可得，解之可得答案.
【详解】
向量的夹角为,且,,可得:,
可得, 解得，
故答案为:1.
【点睛】
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）m－n－1＝0
【解析】
试题分析：（1）利用M与短轴端点构成等腰直角三角形，可求得b的值，进而得到椭圆方程；（2）设出过M的直线l的方程，将l与椭圆C联立，得到两交点坐标关系，然后将k1＋k3表示为直线l斜率的关系式，化简后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的关系式.
试题解析：（1）由题意，c＝，b＝1，所以a＝
故椭圆C的方程为
（2）①当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，代入椭圆得，y＝±
不妨设A（1，），B（1，－）
因为k1＋k3＝＝2
又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1
所以m，n的关系式为＝1，即m－n－1＝0
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）
将y＝k（x－1）代入，
整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）
所以k1＋k3＝
＝
＝
＝
＝＝2
所以2k2＝2，所以k2＝＝1
所以m，n的关系式为m－n－1＝0
综上所述，m，n的关系式为m－n－1＝0.
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，
18、（1）见解析（2）不存在，见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.
【详解】
(1)函数的定义域为，所以
当时，；，
所以函数在上单调递增
当时，
①当时，函数在上递增
②，显然无增区间；
③当时， ，函数在上递增，
综上当函数在上单调递增.
当时函数在上单调递增；
当时函数无单调递增区间
当时函数在上单调递增
(2)假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上不同的两个点，且
则
曲线在点处的切线的斜率为，
.
令，则，
单调递增，，
故无解，假设不成立
综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”
【点睛】
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
19、（1）
（2）
【解析】
（1）利用消参法以及点求解出的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化求解出直线的极坐标方程；
（2）将的坐标设为，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性，求解出取最小值时对应的值.
【详解】
（1）消去参数得普通方程为，
将代入，可得，即
所以的极坐标方程为
（2）的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程
设的直角坐标为
∵在直线上，∴的最小值为到直线的距离的最小值
∵，∴当，时取得最小值
即，∴
【点睛】
本题考查直线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化以及根据曲线上一点到直线距离的最值求参数，难度一般.（1）直角坐标和极坐标的互化公式：；（2）求解曲线上一点到直线的距离的最值，可优先考虑将点的坐标设为参数方程的形式，然后再去求解.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
【点睛】
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
21、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；
（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则，
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
（2）由题可知， ，
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【点睛】
本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.
22、 (Ⅰ)或(Ⅱ)12
【解析】
（1）先设数列的公比为，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）设数列的公比为，
，
，
或.
（2）时，，解得；
时，，
无正整数解；
综上所述.
【点睛】
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
满意度评分分组
合计
高一
1
3
6
6
4
20
高二
2
6
5
5
2
20
满意度评分
评分70分
70评分90
评分90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
x
0
+
0
_
0
+
极大值
极小值