2026届固原市第一中学高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届固原市第一中学高三适应性调研考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知，设复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）

A．B．C．D．
2．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数满足,则( )
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．等差数列中，，，则数列前6项和为（）
A．18B．24C．36D．72
6．已知（），i为虚数单位，则（ ）
A．B．3C．1D．5
7．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
8．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
9．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ）
A．1B．C．2D．
10．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1B．C．D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.
14．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
15．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________.
16．函数的值域为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，且.
（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：
（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？
（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望．
19．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．
附：（1）相关系数
（2），，，．
20．（12分）已知函数.
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：
（2）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且．
（1）求证：平面；
（2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.
【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.
故选C.
【点睛】
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.
2、A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
【点睛】
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
3、C
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
4、B
【解析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解
【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中，直线过定点，
当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线下方的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线上方的区域，
要使不等式组所表示的平面区域内存在点，
使不等式成立，只需直线的斜率，解得.
综上可得实数的取值范围为，
故选：B.
【点睛】
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题
5、C
【解析】
由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.
【详解】
∵等差数列中，，∴，即，
∴，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.
6、C
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】
由，得，解得.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
7、C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
8、B
【解析】
设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.
【详解】
由题意可知点，设点、，设直线的方程为，
由于点是的中点，则，
将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，
由韦达定理得，得，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9、D
【解析】
根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.
【详解】
长方体中，，
点T在棱上，若平面.
则，
则，所以，
则，
所以
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.
10、D
【解析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属基础题.
11、C
【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
12、B
【解析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，
所以它们此时的距离为.
故选B.
【点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、(或写成)
【解析】
试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为
考点：函数最值，函数单调区间
14、
【解析】
设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
15、2
【解析】
联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.
【详解】
如图，设，由，则，
由可得，由，则，
所以，得.
故答案为：2
【点睛】
此题考查了抛物线的性质，属于中档题.
16、
【解析】
利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.
【详解】
函数的定义域为
所以函数的值域为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以，即，
所以数列是等差数列，且公差，其首项
所以，解得；
（2），①
，②
①②，得，
所以.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18、（1）李某月应缴纳的个税金额为元，（2）分布列详见解析，期望为1150元
【解析】
（1）分段计算个人所得税额；
（2）随机变量X的所有可能的取值为990，1190，1390，1590，分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600−5000−1000−2000＝21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%＝900元，
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%＝1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90＋900＋1920＝2910元，
（2）有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000−2000＝12000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＝990元
有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−1000＝14000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋400＝1390元；
没有孩子需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000−2000＝13000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋200＝1190元；
没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额（含税）为：20000−5000＝15000元，
月应缴纳的个税金额为：90＋900＋600＝1590元；
．
所以随机变量X的分布列为：
．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题．
19、（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）
【解析】
（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；
（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
由公式，
，∴与的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
，，，
由题意， ，
.
【点睛】
本题考查相关系数的求解，考查二项分布的期望，是中档题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）求导.根据单调，转化为对恒成立求解
（2）由（1）知，是的两个根，不妨设，令. 根据，确定，将转化为. 令，用导数法研究其单调性求最值.
【详解】
（1）的定义域为，
.
因为单调，所以对恒成立，
所以，恒成立，
因为，当且仅当时取等号，
所以；
（2）由（1）知，是的两个根.
从而，，不妨设，
则.
因为，所以t为关于a的减函数，所以.
.
令，则.
因为当时，在上为减函数.
所以当时，.
从而，所以在上为减函数.
所以当时，.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21、（1）见证明；（2）
【解析】
（1）设是的中点，连接、，先证明是平行四边形，再证明平面，即
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面法向量，利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）证明：设是的中点，连接、，
是的中点，，，
，，， ，
是平行四边形，，
，，，
，，，
由余弦定理得，
，，
，平面，，
；
（2）由（1）得平面，，平面平面，
过点作，垂足为，平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，
设是平面的一个法向量，则，，
令，则，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
22、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）根据菱形的特征和题中条件得到平面，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；
2建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形是菱形，
，

平面
平面，
又是的中点，
，
又
平面
（2）
∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角．
平面，
∴直线与平面所成的角为，即．
因为，则在等腰直角三角形中，
所以．
在中，由得，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．
则
所以
设平面的一个法向量为，
则，可得，
取平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值的大小为．
（注：问题（2）可以转化为求二面角的正弦值，求出后，在中，过点作的垂线，垂足为，连接，则就是所求二面角平面角的补角，先求出，再求出，最后在中求出．）
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．
级数
一级
二级
三级
四级
每月应纳税所得额（含税）
不超过3000元的部分
超过3000元至12000元的部分
超过12000元至25000元的部分
超过25000元至35000元的部分
税率
3
10
20
25
研发费用（百万元）
2
3
6
10
13
15
18
21
销量（万盒）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
990
1190
1390
1590