2026届河南省商开九校联考高三第四次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省商开九校联考高三第四次模拟考试数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，执行程序框图，则输出的数值为，双曲线的渐近线方程为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
2．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
8．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）
A．B．C．D．
9．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈A B．3B C．A∩B=B D．A∪B=B
12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．B．4
C．D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若为假，则实数的取值范围为__________.
14．在中，已知，则的最小值是________．
15．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（—）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为__________．
16．四边形中，，，，，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．
18．（12分）如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点，
（1）求的取值范围；
（2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标.
19．（12分）已知函数.
（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.
20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.
21．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
22．（10分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
2、D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
3、C
【解析】
由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.
【详解】
因为，，
所以解得，
所以，
所以，，，
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
4、C
【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.
【详解】
，，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，满足条件，
，，，，不满足条件，
输出.
故选：C
【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
5、A
【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.
【详解】
联立方程，解方程可得或，
不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，
因为，，
由平面向量垂直的坐标表示可得，，
因为，所以a2-c2=ac，
两边同时除以可得，，
解得e=或（舍去），
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
【点睛】
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
6、C
【解析】
根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.
【详解】
双曲线,
双曲线的渐近线方程为，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
7、D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．
【详解】
由题意可知，代入得：，
代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
8、A
【解析】
对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数.
【详解】
因为为纯虚数，所以，得
所以.
故选A项
【点睛】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
9、B
【解析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，，，
由题意得：，，
，
又
即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
10、A
【解析】
由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集.
【详解】
由的解集为，可知且，
令，解得，，
因为，所以的解集为，
故选：A.
【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
11、C
【解析】
试题分析：集合
考点：集合间的关系
12、B
【解析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.
【详解】
如图，三棱锥的直观图为，体积
.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.
【详解】
因为为假，则其否定为真，
即为真，所以对任意实数恒成立，所以.
又，当且仅当，即时，等号成立，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.
14、
【解析】
分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由csC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.
详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故csC的最小值为.
点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.
15、2
【解析】
根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.
【详解】
画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场．
故答案为：2
【点睛】
本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
16、
【解析】
在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.
【详解】
，
如图，在中，由正弦定理可得，
即，故当时，取到最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；
（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．
【详解】
（1）证明：连接与交于，连接，
因为是菱形，所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：取中点，连接，
因为四边形是菱形，，且，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以．
同理可证：，又，
所以平面，
所以平面平面，
又平面平面，
所以点到直线的距离即为点到平面的距离，
过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，
因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，
此时，为的中点，即，
所以，
所以．
【点睛】
本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．
18、（1）（2）点的坐标为
【解析】
将抛物线方程与圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程, 抛物线与圆有四个交点需满足关于的一元二次方程在上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于的不等式组,解不等式即可.
不妨设抛物线与圆的四个交点坐标为，，，，据此可表示出直线、的方程,联立方程即可表示出点坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形的面积的表达式,令,由及知,对关于的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形的面积取得最大值时的值,进而求出点坐标.
【详解】
（1）联立抛物线与圆的方程
消去，得.
由题意可知在上有两个不等的实数根.
所以解得，
所以的取值范围为.
（2）根据（1）可设方程的两个根分别为，（），
则，，，，
且，，
所以直线、的方程分别为
，
,
联立方程可得,点的坐标为，
因为四边形为等腰梯形,
所以
，
令，则，
所以，
因为,所以当时,；当时,，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即当时，四边形的面积取得最大值，
因为,点的坐标为,
所以当四边形的面积取得最大值时,点的坐标为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
19、（1）（2）
【解析】
分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到
，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.
详解：（1）由函数有意义，则
由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，
上恒成立



（2）由知，
令，即
由有两个极值点
故为方程的两根，
，
，
则

由
由 ，则上单调递减
，即

由知
综上所述，的最小值为.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；
（2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．
【详解】
（1）函数的定义域为，，
则（1），（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为，
又曲线在点，（1）处的切线方程为，
，；
（2）证明：由（1）知，，则，
令，则，易知在单调递减，
又，（1），
故存在，使得，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
由于，（1），（2），
故存在，使得，
且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，
故函数存在唯一的极大值点，且，即，
则，
令，则，
故在上单调递增，
由于，故（2），即，
．
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
（1）成等比数列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
22、（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；
（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，
求出，利用求解即可.
【详解】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.