2026届河南省开封市兰考县等五县联考高考数学四模试卷含解析

这是一份2026届河南省开封市兰考县等五县联考高考数学四模试卷含解析，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，的展开式中，项的系数为，设全集U=R，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．设，，是非零向量.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
6．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．120种
8．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．设全集U=R，集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．设，则复数的模等于( )
A．B．C．D．
12．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（ ）
A．B．4C．5D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．二项式的展开式中项的系数为_____．
14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．
15．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
16．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明:平面
（2）若，求二面角的余弦值.
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcsA﹣asinB＝1．
（1）求A；
（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．
20．（12分）已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，求函数在上最小值.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是．
（1）求的值:
（2）若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
2、A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3、D
【解析】
试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.
考点：平面向量数量积.
【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
4、B
【解析】
求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．
【详解】
解：令，则，
则，
故，如图示：
由，
得，
函数恒过，，
由，，
可得，，，
若方程有唯一解，
则或，即或；
当即图象相切时，
根据，，
解得舍去），
则的范围是，
故选：．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
5、B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
6、B
【解析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
，，不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
成立，输出的值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
7、B
【解析】
将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.
【详解】
当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
8、C
【解析】
由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.
【详解】
解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．
9、A
【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
10、A
【解析】
求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】
，
，
则，
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
11、C
【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.
【详解】
因为,
所以,
由复数模的定义知,.
故选:C
【点睛】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.
12、D
【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出 的值.
【详解】
解：，即
，即.
，则.
，解得.
，
故选:D.
【点睛】
本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角 的正弦值余弦值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、15
【解析】
由题得，，令，解得，代入可得展开式中含x6项的系数.
【详解】
由题得，，令，解得，
所以二项式的展开式中项的系数为.
故答案为：15
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.
14、
【解析】
由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，满足题意，
时，，方向相反，不合题意，舍去．
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．
15、
【解析】
不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.
【详解】
不妨设双曲线，
焦点，对称轴，
由题设知，
因为的长为实轴的二倍，
，
，
，故答案为.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
16、
【解析】
由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．
【详解】
解：因为是偶函数，所以时恒有，即，
所以，
所以，解得，，；
所以；
由，即，解得；
故，．
由，即，解得．
故，．
因为，所以，即，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析，，x[0，1]；（2）P(，)时，视角∠EPF最大．
【解析】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系，设出方程，通过点的坐标可求方程；
（2）设出的坐标，表示出，利用基本不等式求解的最大值，从而可得观测点P的坐标．
【详解】
（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；
（2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝
，，
令，，则：
，
当且仅当即，即，即时取等号；
故P(，)时视角∠EPF最大，
答：P(，)时，视角∠EPF最大．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
18、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量
，，最后求得二面角的余弦值为.
【详解】
解：（1）连结
∵ ，且是的中点，
∴
∵平面平面，
平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴
又为菱形，且为棱的中点，
∴
∴.
又∵，平面
∴平面.
（2）由题意有，
∵四边形为菱形，且
∴
分别以，，所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
设平面的法向量为
由，得，
令，得
取平面的法向量为
∴
二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
【点睛】
处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
19、（1） ； （2）.
【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sinBcsA﹣sinAsinB＝1，结合sinB＞1，可求tanA＝，结合范围A∈（1，π），可得A的值；（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
（1）∵bcsA﹣asinB＝1．
∴由正弦定理可得：sinBcsA﹣sinAsinB＝1，
∵sinB＞1，
∴csA＝sinA，
∴tanA＝，
∵A∈（1，π），
∴A＝；
（2）∵a＝2，B＝，A＝，
∴C＝，根据正弦定理得到
∴b＝6，
∴S△ABC＝ab＝＝6．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ)当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是
【解析】
（1）求出导函数，并且解出它的零点x=，再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是-a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2-2a．
【详解】
函数的定义域 为．
因为，令，可得；
当时，；当时，，
综上所述：可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为
当，即时，函数在区间上是减函数，
的最小值是
当，即时，函数在区间上是增函数，
的最小值是
当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．
又，
当时，的最小值是；
当时，的最小值为
综上所述，结论为当时，函数的最小值是；
当时，函数的最小值是.
【点睛】
求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小
21、（1），（2）存在，
【解析】
（1）先求得曲线的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.
（2）求得曲线的圆心和半径，计算出圆心到直线的距离，结合图像判断出存在符合题意，并求得的值.
【详解】
（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离.
∴由图像可知，存在这样的点，，则，且点到直线的距离，
∴，∴.
【点睛】
本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出．
在利用余弦的和差公式即可求出.
（2）根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.
【详解】
解：因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,
所以由任意角的三角函数的定义可知,．
从而．
（1）于是
．
（2）因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,
所以,从而．
于是
．
因为为锐角,为钝角,所以
从而．
【点睛】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.