2026届河南省新乡一中等四校高考冲刺模拟数学试题含解析

这是一份2026届河南省新乡一中等四校高考冲刺模拟数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了已知函数，则，若复数z满足，则，己知，，，则，已知复数满足等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．函数在上的图象大致为( )
A．B．
C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．己知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
7．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8B．7C．6D．4
9．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
11．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）
A．B．C．D．
12．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.
14．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.
15．学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.
16． “”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．
18．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.
20．（12分）已知数列满足：对一切成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．
22．（10分）已知.
（1）解不等式；
（2）若均为正数，且，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数为幂函数时，，
解得或，
∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
2、A
【解析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；
而，排除B；，排除D.
故选：.
【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.
3、A
【解析】
根据分段函数直接计算得到答案.
【详解】
因为所以.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.
4、D
【解析】
先化简得再求得解.
【详解】
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5、B
【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.
【详解】
因为，，
所以，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
6、C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
7、C
【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.
【详解】
依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.
8、A
【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
9、C
【解析】
先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.
【详解】
由题可得：（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
10、A
【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由，则，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
则，，，.
因此，随机变量的数学期望为.
故选：A.
【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
12、B
【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.
所以本题答案为B.
【点睛】
本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.
【详解】
设公差为，
因为，
所以，
所以，
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.
14、
【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数，
则出场的两名运动员编号相同的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
15、B
【解析】
首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．
【详解】
若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；
若C为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；
若D为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；
综上所述，故B获得一等奖．
【点睛】
本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．
16、充分不必要
【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.
【详解】
由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
【点睛】
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设，，则，
设，由得．
又由于，
化简得的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，
与的方程联立，消去得，
，设，，
则，，
由已知，，则
，
故直线．
，
令，则
，
由于，，
．
所以，的取值范围为．
【点睛】
此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，，由，进而，由，得. 进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，，得二面角的平面角为，再求解即可
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.
因为，点是线段的中点，
所以.
又因为，所以，从而平面，
所以，又，不平行，
所以平面.
（2）（方法一）由（1）知，过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由，得，令，得.
同理，设平面的法向量为，
由，得，
令，得.
所以二面角的余弦值为.
（方法二）取的中点，上的点，使，连接，易知，.
由（1）得，所以平面，所以，
又，所以平面，
所以二面角的平面角为.
又计算得，，，
所以.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题
19、（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；
（2）①若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当，，，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．
【详解】
解：（1），，且为非零常数，，，
可得，
可得数列的首项为，公差为的等差数列，
可得，前项和为；
（2）①若，可令，，
且，即，，，，
对任意的，，可得，
可得，，
数列是等比数列，则，，
可得，，即，
又，即有，即，
数列是等比数列的充要条件为；
②证明：对任意的，，，，，
当，，，
可得，即以为首项、为公比的等比数列；
同理可得以为首项、为公比的等比数列；
对任意的，，可得，
即有，
所以对，，，
可得，，
即且，则，可令，
故数列，，，，，，，，，
是以为首项，为公比的等比数列，其中．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；
（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.
【详解】
（1）①，
当时，，
，
当时，②，
①②得：，
，
适合，
故；
（2），
.
【点睛】
本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
21、 (1) (2)4
【解析】
（1）将点P横坐标代入抛物线中求得点P的坐标，利用点P到准线的距离d和勾股定理列方程求出p的值即可；（2）设A、B点坐标以及直线AB的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算的值即可．
【详解】
（1）将点P横坐标代入中，求得，
∴P（2，），，
点P到准线的距离为，
∴，
∴，
解得，∴，
∴抛物线C的方程为：；
（2）抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为，；
设，
直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，
∴，…①
由，可得，
又，，
∴，
∴，
即，
∴，…②
把①代入②得，，
则．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
22、（1）；（2）
【解析】
（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.
（2）利用柯西不等式可求的最小值.
【详解】
（1），
由得或或，
解得.
（2），
所以，
由柯西不等式得：
所以，
即 （当且仅当时取“=”）.
所以的最小值为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.