2026届河南省新乡一中高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份2026届河南省新乡一中高考仿真模拟数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，定义集合，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则( )
A．9B．5C．2或9D．1或5
3．设集合则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( )
A．B．C．D．
5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
12．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
14．如图是一个算法流程图，若输出的实数的值为，则输入的实数的值为______________.
15．若，则______.
16．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.
18．（12分）已知函数，它的导函数为．
（1）当时，求的零点；
（2）当时，证明：．
19．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值.
20．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：
（Ⅰ）根据数据可知与之间存在线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以（单位：万台）表示日销售，当时，不设奖；当时，每位员工每日奖励200元；当时，每位员工每日奖励300元；当时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售（万台）服从正态分布（其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元.
参考数据：，，，，
参考公式：相关系数，其回归直线中的，若随机变量服从正态分布，则，.
21．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
22．（10分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据定义，求出，即可求出结论.
【详解】
因为集合，所以，
则，所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
2、B
【解析】
根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.
【详解】
由于，所以，
又且，
故选：B.
【点睛】
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.
3、C
【解析】
直接求交集得到答案.
【详解】
集合，则.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
4、C
【解析】
根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
根据题意，，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.
5、D
【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.
【详解】
由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,
所以所求概率,
故选:D
【点睛】
本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.
6、A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
7、A
【解析】
画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；
【详解】
如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.
法一：四边形的外接圆直径，，
；
法二：，，；
法三：作出的外接圆直径，则，，，
，，，
，，，.
故选：A
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
8、C
【解析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.
【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
9、C
【解析】
函数的定义域应满足
故选C.
10、A
【解析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．
【详解】
由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，
设是的中心，则平面，，，
外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，
∴，解得，
球体积为．
故选：A．
【点睛】
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
11、D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
12、C
【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.
【详解】
，
所以，即.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】
如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，
因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,
可得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可.
【详解】
解：程序的功能是计算，
若输出的实数的值为，
则当时，由得，
当时，由，此时无解.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键，属于基础题.
15、
【解析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．
【详解】
解：若，则，
即，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16、
【解析】
根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．
【详解】
解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，
对于第二个不等式，，则有，
对于第三个不等式，，则有，
依此类推：
第个不等式为：，
故答案为．
【点睛】
本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）先把曲线的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用 求得极坐标方程.将，化为，再利用 求得曲线的普通方程.
（2）设直线的极角，代入，得，将代入，得，由，得，即，从而求得，，从而求得，再利用求解.
【详解】
（1）依题意，曲线，即，
故，即.
因为，故，
即，即.
（2）将代入，得，
将代入，得，
由，得，得，
解得，则.
又，故，
故的面积.
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.
18、（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；
当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明．
【详解】
(1)的定义域为
当时，，，
易知为上的增函数，
又，
所以是的唯一零点；
(2)证明：当时，，
①若，则，
所以成立，
②若，设，则，
令，则，
因为，所以，
从而在上单调递增，
所以，
即，在上单调递增；
所以，即，
故.
【点睛】
本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，即，
解得或（舍），所以；
（2）由及得，，
所以，
又因为，所以，
从而，所以.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元
【解析】
（Ⅰ）由题意计算x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程;
（Ⅱ）由题意计算平均数μ，得出z~N (μ,)，求出日销量z∈[0.13,0.15) 、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，计算奖金总数是多少.
【详解】
（Ⅰ）因为，
，
因为，
所以，
所以；
（Ⅱ）因为，
所以，
故即，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
日销量的概率为，
所以奖金总数大约为：（元）.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中档题.
21、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面底面，平面底面，
∴底面平面，∴
又由题意可知为正方形，
又，∴平面
平面，∴平面平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，
设平面的法向量为，则
令，则，
∴
由（1）知平面的法向量可取为
∴
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．
【详解】
（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，
（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2 x0，y1﹣2y0） （0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0 （舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.
月 份
5
6
7
8
9
10
11
12
研发费用（百万元）
2
3
6
10
21
13
15
18
产品销量（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5