2025-2026学年广东省东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学高二（下）期中数学试卷

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1.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）=x2+x,则f′（1）=（ ）
A. -4B. -3C. 3D. 4
2.二项式的展开式中常数项为（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 30
3.函数f（x）=8lnx-x2的单调递增区间为（ ）
A. （-∞，-2）∪（2，+∞）B. （-2，2）
C. （0，2）D. （2，+∞）
4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）=alnx+x2的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0，则a+b=（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
6.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bt》惊艳全球!其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.91C. 0.92D. 0.93
7.“（ax+1）6的展开式中x2的系数为60”是“a=2”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f′（x）＞0，则不等式e2f（x）＜ex的解集为（ ）
A. （-∞，1）B. （1，e）C. （1，+∞）D. （e,+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导正确的有（ ）
A. （x2+sin2）′=2x+cs2B.
C. D. （sinx+csx）′=csx-sinx
10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ）
A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法
B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法
C. 若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有480种排法
D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有384种排法
11.已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A. n=11B. 展开式的二项式系数和为211
C. 展开式的各项系数和为D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算的值为 .（用数字作答）
13.函数y=x2-5在区间[1，2]上的平均变化率为 .
14.已知随机事件A，B互相独立，且满足，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：
（1）抽取的3件产品全部是一级品的概率；
（2）抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率.
16.(本小题15分)
已知.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的极值.
17.(本小题15分)
在的展开式中，二项式系数和为64
（1）求n的值并求展开式中的常数项；
（2）求展开式中x4的系数.
18.(本小题17分)
某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第n（n∈N*）天选择羽毛球的概率为Pn，请写出Pn与Pn-1（n≥2）的关系.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=a2x2-3axlnx,a＞0.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的零点个数；
（3）当时，证明：f（x）＞2sinx.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】6．
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】y=2 函数y=f（x）的极小值为2，无极大值
17.【答案】6，160 72
18.【答案】
19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x2-3xlnx,f（1）=1，
f′（x）=2x-3lnx-3，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=-1（x-1），即x+y-2=0，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0；
（2）因为a＞0，x＞0，令f（x）=a2x2-3axlnx=0得ax-3lnx=0，即，
令，所以f（x）的零点个数等价于y=g（x）与y=a的图象交点的个数，
又因为，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，
且g（1）=0，有极大值也是最大值，
如图：
由图可知，当时，函数y=g（x）与y=a的图象无交点；
当时，函数y=g（x）与y=a的图象有1个交点；
时，函数y=g（x）与y=a的图象有2个交点，
综上，时，f（x）的零点个数为0；时，f（x）的零点个数为1；
时，f（x）的零点个数为2；
（3）证明：①当x≥1时，f'（x）=2a2x-3a（lnx+1）=a（2ax-3lnx-3），
令h（x）=2ax-3lnx-3，，
因为x≥1，a＞0，所以2ax≥2a,而，即2ax≥2a＞3，2ax-3＞0，h'（x）＞0，
所以h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）=2a-3＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．所以f（x）≥f（1）=；
②当0＜x＜1时，令u（x）=x-sinx,μ（x）=1-csx＞0，所以u（x）单调递增，
所以u（x）＞u（0）=0，即x＞sinx,
又因为f（x）-2x=a2x2-3axlnx-2x=x（a2x-3alnx-2），
令m（x）=a2x-3alnx-2，，
当时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；
当时，m'（x）＞0，m（x）单调递增；
当x=时，m（x）的极小值为，
若，即a＞3，则，所以m（x）＞0，
若，即，则m（x）在区间（0，1）上单调递减，
所以m（x）＞m（1）=a2-2＞0，
所以f（x）-2x＞0，即f（x）＞2x＞2sinx,
综上可得，f（x）＞2sinx.