2026届河南省开封市重点中学高考适应性考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省开封市重点中学高考适应性考试数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知集合，则=，已知点P在椭圆τ等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
2．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
4．已知集合，，则
A．B．
C．D．
5．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
8．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
9．已知集合，则=（ ）
A．B．C．D．
10．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
11．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ）
A．[0，）B．（﹣∞，0）∪[，+∞）
C．（0，）D．（﹣∞，0]∪[，+∞）
12．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10B．9C．8D．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
14．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.
15．已知函数，则________；满足的的取值范围为________.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.
18．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.
19．（12分）的内角所对的边分别是，且，.
（1）求；
（2）若边上的中线，求的面积.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.
21．（12分）设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足.
(1)求；
(2)若，求的最大值.
22．（10分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.
（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？
（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.
【详解】
由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
故选：D．
【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．
2、D
【解析】
连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
3、B
【解析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；
故选：B
【点睛】
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
4、D
【解析】
因为，，
所以，，故选D．
5、B
【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.
【详解】
20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.
故选:B.
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.
6、B
【解析】
变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.
【详解】
解：依题： ，
又三点共线，
，解得．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,)
7、C
【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，
则，，设
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
，
则

当且仅当时，取等号.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
8、B
【解析】
设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.
【详解】
设，
则有.
又，
所以，有.
故选B.
【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.
9、D
【解析】
先求出集合A，B，再求集合B的补集，然后求
【详解】
，所以 .
故选：D
【点睛】
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
10、C
【解析】
设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.
【详解】
设，则，，，则，设，
则，两式相减得到：，
，，即，，
，故，即，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11、D
【解析】
求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.
【详解】
集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，），
∴A∩B＝（0，），
∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）.
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.
12、D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
【点睛】
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解．
【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
14、
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即，；
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点时，此时，
直线：，与：的交点为，
该点也在直线：上，故，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
15、
【解析】
首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得；
【详解】
解：因为，
所以，
∵，
∴当时，满足题意，∴；
当时，由，
解得.综合可知：满足的的取值范围为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.
16、
【解析】
由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.
【详解】
解：函数是定义在上的奇函数，
.
由周期为，可知，，.
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）或
【解析】
（1）根据题意计算得到，，得到椭圆方程.
（2）设，联立方程得到，根据，计算得到答案.
【详解】
（1）由平行四边形的周长为8，可知，即.
由平行四边形的最大面积为，可知，又，解得.
所以椭圆方程为.
（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点.
设，
由消得，所以，
因为，
所以
.
因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，
所以直线的方程或.
【点睛】
本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为是解题的关键.
18、（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据两个曲线的焦点相同，得到，再根据与的公共弦长为得出，可求出和的值，进而可得出曲线的方程；
（2）设点，根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，利用向量的数量积得出，则问题得以证明；
（3）设直线，直线，、、，推导出以及，求出和，通过化简计算可得出为定值，进而可得出结论.
【详解】
（1）由知其焦点的坐标为，
也是椭圆的一个焦点，，①
又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，
由此易知与的公共点的坐标为，，②
联立①②，得，，故的方程为；
（2）如图，，由得，
在点处的切线方程为，即，令，得，即，，
而，于是，
因此是锐角，从而是钝角.
故直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）设直线，直线，、、，
则，
设向量和的夹角为，
则的面积为，
由，可得，同理可得，
故有.
又，故，
则，因此，的面积为定值.
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题．
19、（1），（2）
【解析】
（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；
（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.
【详解】
（1）由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
即，所以，
又因为，所以，.
（2）在和中，由余弦定理得
，.
因为，，，，
又因为，即，
所以，
所以，
又因为，所以.
所以的面积.
【点睛】
本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
20、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.
（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.
【详解】
（1）依题意，得，，
，
故椭圆C的方程为.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，
由于点在椭圆C上，所以，
由，则，

.
由于，
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆T上，代入圆的方程得到.
故圆T的方程为：
（3）设，则直线MP的方程为：，
令，得，同理：.
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
21、 (1)；(2).
【解析】
(1)根据条件形式选择，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出；
(2)由(1)求出角，利用正弦定理和消元思想，可分别用角的三角函数值表示出，
即可得到，再利用三角恒等变换，化简为，即可求出最大值．
【详解】
(1)∵，即，
∴变形得：，
整理得：，
又，∴；
(2)∵，∴，
由正弦定理知，，
∴
，当且仅当时取最大值．
故的最大值为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题
22、（1）79颗；（2）5.5秒.
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和为1可得，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；
（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.
【详解】
（1）第一到第六组的频率依次为
0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和为1
所以，，
所以，自转周期在2至10秒的大约有（颗）.
（2）新发现的脉冲星自转周期平均值为
（秒）.
故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88