重庆市南开中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市南开中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足（是虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算确定复数，再由复数虚部的概念确定复数的虚部.
【详解】由，得.
所以的虚部为.
2. 已知为坐标原点，，，则的重心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】已知，，，
由重心坐标公式可得重心坐标为，即．
3. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】由“”可知向量与同向，但模长不一定相等，不满足充分性；
由“”可以得到“”，满足必要性．
4. 如图，在△ABC中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的加法法则，即可求解.
【详解】解：由题意得：，
故选：D.
5. 在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由代入，结合余弦定理即可求解．
【详解】由可得，
由余弦定理，
则．
6. 已知中，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由可知为等腰三角形，设
,解得，故，
在上的投影：
，
在上的投影向量为．
7. 在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状.
【详解】若，得，
由正弦定理可得，
化简可得，即，
利用辅助角公式可得，
即，
所以或，或者（舍），
所以一定是直角三角形.
8. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共线向量的推论建立关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出目标函数的最小值.
【详解】由点在线段上（不含端点），，得，
则，因此
，
当且仅当，即，时取得等号，
所以的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设，为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是实数
C. 若为纯虚数，则也为纯虚数D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的模和共轭复数概念代入选项计算即可；也可以用特殊值法证明.
【详解】选项A：举反例，，故不成立；
选项B：设（，），，
则，，成立；
选项C：可设（，），则为纯虚数，成立；
选项D：设，在复平面内对应点为，，则，，，则，可判断成立.
10. 已知向量，满足：，则（ ）
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在上的投影向量坐标为D. （）的最小值为1
【答案】AD
【解析】
【详解】选项A：由，知，
平方可得 ，则成立；
选项B：，故不成立；
选项C：在上的投影向量为，故不成立；
选项D：
所以当时，取得最小值，正确.
11. 已知的内切圆半径为，外接圆半径为，外接圆圆心满足，为的外接圆上一动点，且（，），则（ ）
A. 为等腰三角形B.
C. D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取中点，根据给定条件可得，借助三角形外心性质判断A；结合向量运算、三角形面积公式求解判断BC；利用二倍角公式、数量积定义及运算律列式，借助判别式求出范围判断D.
【详解】取中点，由，得，即，
对于A，外心在上，为中垂线，则，为等腰三角形，A正确；
对于B，由，得，由，得，
因此，而，B错误；
对于C，由选项B，得，则，C正确；
对于D，由选项B，得，
，由，得，
，
整理得，即，
令，则，即，
因此，解得，则的取值范围为，D正确.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
12. 已知向量，，且，则实数______.
【答案】##0.5
【解析】
【详解】因为，所以，即.
13. 若向量，满足：，，则与的夹角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由向量垂直的数量积关系化简可得结果.
【详解】记与所成角为，因为，
所以，
解得，所以.
故答案为：.
14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化简可得，由正弦定理结合三角恒等变换化简可得，再结合二次函数性质计算求解.
【详解】由正弦定理可知：
，
故或（舍去），所以，
所以
，
且由，，，可得，
当时，存在最小值，故有.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
15. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据复数乘法得，再由纯虚数概念求解；
（2）根据复数运算法则以及几何意义求解即可.
【小问1详解】
因为为纯虚数，
所以且，所以，故；
【小问2详解】
因为复数，
且在复平面内对应的点在第二象限，所以，
故实数的取值范围是.
16. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积为，点满足，求线段的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理列式即可求出答案；
（2）根据求出，进而求得，再将两边同时平方，即可求出答案.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得，
即，即，
解得或（舍去），
经检验，当时，为锐角三角形，符合题意，
所以；
【小问2详解】
由，
得，
所以或，
因为为锐角三角形，故，
又因为点满足，所以，
，
得.
17. 在等腰梯形中，，，，是的中点，点满足（其中）.
（1）若，且（，），求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案；
（2）以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示直角坐标系，根据数量积的坐标运算得，即可得解.
【小问1详解】
因为，所以点为的中点，则，
又，所以.
所以，，得；
【小问2详解】
以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示直角坐标系，
由条件可得、、.
所以，，
所以，
因为，所以单调递增，
所以.
18. 在中，，，为的中点.
（1）求的取值范围；
（2）若，为的中点，为平面上一动点，满足.
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）求的最大值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）10
【解析】
【分析】（1）设，根据结合的范围即可求出答案；
（2）（ⅰ）取中点，证明为中点，根据得到，进而得到，再求出，再根据即可求出答案；（ⅱ）求出，令，，求出的取值范围，令，再根据求出的范围，，令，根据的范围求出的范围，分为和两种情况，分别求范围，即可求出答案.
【小问1详解】
设，
则
.
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
（ⅰ）取中点，
因为，，
所以，即、、三点共线，且为中点，
因为，所以，
故，在以为直径的圆上，
因为，，所以为等边三角形，
所以，所以，
，，
则
为定值.
（ⅱ）由（ⅰ）可知：
，
设，.则，
由，
可知，设，
由，有，
所以
，
令，则，
①当时，，
②当时，，
因为，
所以，
所以，
综上所述，，即，
所以的最大值为10，
当且仅当，即时等号成立，此时，.
19. 在中，已知，的面积满足：.
（1）求的值；
（2）如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记.
（ⅰ）用含的式子分别表示与的面积；
（ⅱ）若，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）（ⅰ），；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式及向量数量积的运算，化简式子得，进而得到，再用余弦定理或正弦定理求比值即可；
（2）（ⅰ）记，面积分别为、，设，在中，用2次余弦定理可得，再由正弦定理，进而得到，根据面积公式得到；
（ⅱ）记面积为，则，，再化简求最值即可．
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
得，所以，而，
在中，由余弦定理可知，，
所以，即；
【小问2详解】
（ⅰ）记，面积分别为、，设，
在中，由余弦定理可知：
，
，
即①，
则，
在中，由正弦定理可知：，即②，
由①②可知，
；
（ⅱ）记面积为，则，
，
令，则由，得，
而在上单调递增，故，
所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立．