重庆市南开中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版）

这是一份重庆市南开中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含解析（word版），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. A
【详解】由 zi=2+i ,得 z=2+ii=1−2i ,故选 A.
2. C
【详解】由重心坐标公式可得坐标 0+1+53,0+2+13 ,即 2,1 ,故选 C .
3. B
【详解】由 “ aa=bb ” 只能得到 “ a//b ”，不满足充分性；由 “ a=b ” 可以得到 “ aa=bb ”，满足必要性, 故选 B.
4. D
【详解】 AE=12AC+12AD=12AC+1213AB=16AB+12AC ,故选 D.
5. C
【详解】由 b2+c2=a2+2S ,可得 b2+c2=a2+bcsinA ,
由余弦定理 b2+c2−a2=2bccsA=bcsinA ,则 tanA=2 ,故选 C.
6. A
【详解】由 AB=AC=AB+AC 可知 △ABC 为等腰三角形,且 ∠BAC=23π ,则 BC 在 BA 上的投影向量为 32BA ,故选 A.
7. B
【详解】 atanB+btanAa+b=tanAtanB ,
首先正切化为正余弦比值,即 asinBcsB+bsinAcsA=a+bsinAsinBcsAcsB ,
然后将边化为正弦值,即 sinAsinBcsB+sinBsinAcsA=sinA+sinBsinAsinBcsAcsB ,
两边约去 sinAsinB 同时去分母,
可得 csA+csB=sinA+sinB ,即 sinA−csA=−sinB−csB ,
利用辅助角公式, 可得 2sinA−π4=−2sinB−π4 ，即 sinA−π4=−sinB−π4=sinπ4−B ， 则 A−π4=π4−B 或者 A−π4+π4−B=π,A+B=π2 或者 A−B=π (舍),故选 B.
8. C
【详解】由 A,B,C 三点共线, OA=2xOB+yOC ,
则 2x+y=1x>0,y>0 ,且 1x+1−yy+2=1x+1−y+2−2y+2=1x+1+2y+2−1 ,
观察分母与条件等式之间关系,构造 2x+1+y+2=5 ,
有 2x+1+y+21x+1+2y+2=2+y+2x+1+4x+1y+2+2≥4+24=8 ,
当 y+2x+1=4x+1y+2 ,即 2x+1=y+2 时, 2x=y=12 时取得等号,
所以 1x+1−yy+2 的最小值为 85−1=35 ,故选 C.
二、多项选择题:
9. BCD
【详解】选项 A: 举反例 z1=1,z2=i ,故不成立;
选项 B: 设 z1=a+bia,b∈R,z1=z2 ,则 z2=a−bi,z1+z2=2a∈R ,成立; 选项 C:可设 1z1=mim∈R,m≠0 ，则 z1=1mi=−1mi 为纯虚数，成立；
选项 D: 由复数减法的几何意义可判断成立; 故选 BCD.
10. AD
【详解】选项 A: 由 b=2,2 ,知 b=22 ,
a−2b=51 平方可得 a−2b2=a2−4a⋅b+4b2=51 ,则 a⋅b=−4 成立;
选项 B: cs=a⋅bab=−43×22=−63 ，故不成立；
选项 C: a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2b=−4222b=−12b=−1,−1 ，故不成立；
选项 D:由几何意义可知 a−λb≥asin=3×33=1 故成立；故选 AD.
11. ACD
【详解】设 AB 中点为 D ,由 5OA+5OB+6OC=0 ,
可得 10OD+6OC=0 ，即 5OD=3CO ，
选项 A: 外心 O 在 CD 上， CD 为中垂线,所以 CA=CB ， △ABC 为等腰三角形，故成立；
选项 B:可设 R=OC=OA=OB=5 ，由 5OD=3CO ，可知 OD=3 ，由 OD⊥AB ，可得 AD=BD=4 ， 所以 CA+CB=2CD=16 ,而 AB=8 ,故不成立;
选项 C: 利用选项 B 的运算结果, 由等面积法, 可得内切圆半径
r=2S△ABCa+b+c=8×845+45+8=85+1 ,则 Rr=55+18 ,故成立;
选项 D:由 CM=λOA+μOB ，得 OM−OC=λOA+μOB ，
即 OM=OC+λOA+μOB ,代入 5OA+5OB+6OC=0 ,即 OC=−56OA−56OB ,
可得 OM=λ−56OA+μ−56OB ,由等和线知识观察可知系数和
λ−56+μ−56∈−53,53 ，则 λ+μ 的取值范围为 0,103 ，故成立；故选 ACD.
三、填空题:
12. −12
【详解】因为 m//n ,所以 2λ=1×−1 ,即 λ=−12 .
13. π4
【详解】记 a 与 b 所成角为 θ ,因为 a⊥a−b ,
所以 a⋅a−b=a2−a⋅b=a2−abcsθ=a2−2a2csθ=0 ,
解得 csθ=22 ,所以 θ=π4 .
14. 22,23
【详解】由正弦定理可知:
sinC−sinB=2sinBcsA⇔sinA+B−sinB=2sinBcsA
⇔sinAcsB+sinBcsA−sinB=2sinBcsA
⇔sinAcsB−sinBcsA=sinB⇔sinA−B=sinB ,
故 A−B=B 或 A−B+B=A=π (舍去)，
所以 c−λab=sinC−λsinAsinB
=sinπ−3B−λsin2BsinB=sin3B−λsin2BsinB=sinB+2B−2λsinBcsBsinB
=sinBcs2B+csBsin2B−2λsinBcsBsinB=sinBcs2B+2sinBcs2B−2λsinBcsBsinB
=cs2B+2cs2B−2λcsB=4cs2B−2λcsB−1 ,
且由 0