初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）28.2.3 关于原点对称的点的坐标多媒体教学课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）28.2.3 关于原点对称的点的坐标多媒体教学课件ppt，共86页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，课时流程，感悟新知，知识点，中心对称及其相关概念，②③④，思路导引，中心对称的性质，中心对称图形等内容，欢迎下载使用。
中心对称及其相关概念中心对称的性质作已知图形关于某一点对称的图形中心对称图形关于原点对称的点的坐标
1. 中心对称：一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点．
特别解读1.中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形.2.中心对称是特殊的旋转，旋转角为180° .3.成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形的边界上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合.
如图 28.2-1， △ ABC 与△ A′ B′ C′关于 O 对称，也就是说， △ ABC 绕点O 旋转 180° 后，能与△ A′ B′ C′重合 . 点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 C 与点 C′分别是关于点 O 的对称点 .
2. 中心对称和轴对称的区别与联系
如图 28.2-2，左边的图形与右边的图形成中心对称的有________ (填序号)
解：①中左边的图形与右边的图形成轴对称 , ②③④中左边的图形与右边的图形成中心对称 .
1-1.下列四组图形，成中心对称的有(   )A.1 组    B.2 组C.3 组    D.4 组
如图 28.2-3，两个五角星关于某一点成中心对称，指出哪一点是对称中心，并指出图中点 A， B， C， D 的对称点 .
解：从图中很容易看出旋转中心为点A，故点A 为对称中心；点A，B，C，D 绕点A 旋转180 °后的位置分别在点A，G，H，E 处，故点A，B，C，D 关于点A 的对称点分别是点A，G，H，E.
解题秘方：紧扣中心对称与相关定义判断 .
2-1. 如图，记钟面上数字12，3，5，6，9 对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A 关于钟面中心O的对称点为( )A.点B B.点CC.点D D.点E
1. 性质 (1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)成中心对称的两个图形是全等图形.
全等的图形不一定中心对称
特别解读1.由性质可以得到如下结论：(1)对称中心在一对对称点的连线上；(2)对称中心到一对对称点的距离相等.2. 如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称.
注意(1)因为中心对称是一种特殊的旋转变换，所以具备旋转的一切性质；(2)成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等.
2. 确定对称中心的方法 方法一： 连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心 .方法二： 任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心 .
[月考·福州仓山区]如图 28.2-4，△ ABC 和△ DEF 关于点 O 成中心对称．(1)找出它们的对称中心 O；(2)若 AB=6， AC=5， BC=4，求△ DEF 的周长；(3)连接 AF， CD，试判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由 .
解题秘方：找对称点是解决问题的关键，每一对对称点与对称中心都在一条直线上. 根据对称点找对应线段，由中心对称的性质得到相等关系即可.
解： 如图 28.2-4，连接 AD， CF 交于点 O，点 O 即为所求 .
(1)找出它们的对称中心 O；
解： ∵△ ABC 和△ DEF 关于点 O 成中心对称，∴△ ABC ≌△ DEF.∴ AB=DE=6， AC=DF=5， BC=EF=4.∴△ DEF 的周长为 6+5+4=15．
(2)若 AB=6， AC=5， BC=4，求△ DEF 的周长；
解： 四边形 ACDF 是平行四边形 . 理由如下：∵△ ABC 和△ DEF 关于点 O 成中心对称，∴ OA=OD， OC=OF. ∴ 四边形 ACDF 是平行四边形 .
(3)连接 AF， CD，试判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由 .
3-1.[期末·邯郸丛台区]如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N 是网格线交点，△ ABC 与△ DEF 关于某点对称，则其对称中心是( )A. 点G B. 点HC. 点M D. 点N
3-2. 如图， △ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是 (　　)A. OB=OB′B. ∠ACB= ∠A′B′C′C. 点A的对称点是点A′D. BC∥B′C′
作已知图形关于某一点对称的图形
1. 作图关键：确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对称点 .
2. 作图步骤 (1)确定关键点：确定对称中心及原图形上的关键点；(2)连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长；(3)截取：等长截取 , 在延长线上截取长度等于关键点与对称中心所连线段长度的线段，截取的交点就是该关键点的对称点；(4)顺次连接：参照原图形将关键点的对称点按原图形的顺序顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形 .
特别提醒作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心对称的性质，将已知图形的关键点与对称中心连接并延长至某点，使之到对称中心的距离与已知关键点到对称中心的距离相等.
[母题 教材 P65 例 1]如图 28.2-5，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形A′ B′ C′ D′，使四边形 A′ B′ C′ D′与四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称．
解题秘方：作一个几何图形关于某点(对称中心)对称的图形的方法是将它转化为作关键点的对称点.
解：如图28.2-5 所示. (1)连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以得到点A 关于点O的对称点A′； (2)以同样的方法分别作出点B，C，D关于点O的对称点B′，C′， D′；(3)依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就得到与四边形ABCD 关于点O对称的四边形A′B′C′D′．
4-1.如图， 已知△ABC，以点O为对称中心，求作与△ABC成中心对称的图形 .
解：如图，△A′B′C′即为所求作的图形．
1. 中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 .例如，线段、平行四边形、圆都是中心对称图形.
对称中心分别为线段中点、对角线交点、圆心
2. 中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对称点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形上.(2)过对称中心的任一直线把中心对称图形分成全等的两部分.
特别解读中心对称图形的“三要素”：1.对称中心；2.旋转180°；3.与本身重合.
3.中心对称与中心对称图形的区别和联系
这里的中心对称图形只考虑一个图形的情况
归纳总结中心对称图形与轴对称图形的区别和联系：
[中考·泰安]下列图形中(如图28.2-6)， 中心对称图形有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：紧扣中心对称图形的“三要素”进行判断.
解：将各图形绕中心旋转180°后发现，第一、二、三个图形都与原图形重合，只有第四个图形不与原图形重合，因此中心对称图形有3 个.
5-1.[中考·自贡]起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是( )
如图28.2-7， 直线EF 经过ABCD的对角线的交点O， 若AE=3 cm， 四边形AEFB 的面积为15 cm2， 则CF= _______ ， 四边形EDCF的面积为_______， ABCD的面积为_______
解题秘方：紧扣中心对称图形的性质即可得解.
解：∵平行四边形是中心对称图形，两对角线的交点就是对称中心，过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形， ∴CF=AE=3 cm，S四边形EDCF=S四边形AEFB=15 cm2，∴S ABCD=30 cm2
6-1. 如图是一个中心对称图形，点A为对称中心，若∠ C=90 °，∠ B=30 °，BC=1，则BB′的长为_______
关于原点对称的点的坐标
1. 关于原点对称的点的坐标： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点的对称点为 P′(－x， －y) .
注意第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.
2. 关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别 
[母题 教材P105 习题T4]已知点A(x， y-4) 与点B(1-y， 2x) 关于原点对称， 求yx的值.
解题秘方：关于原点对称的两点，其横、纵坐标 互为相反数 .
7-1.已知点A(2，m-4)， B(n+2，3)关于原点对称， 则m+n= _________
[母题 教材P103 例2 ]如图28.2-8， 在平面直角坐标系中， △ABC各顶点的坐标分别为A(-2， -2)， B(-4， -1)， C (-4， -4)， 作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1， 并写出点A1， B1， C1的坐标.
解题秘方：在平面直角坐标系中作关于原点对称的图形的方法：先按关于原点对称的点的坐标特征求出对称点的坐标，再在平面直角坐标系中描出对称点，最后将这些对称点顺次连接.
解：△A1B1C1 如图28.2-8 所示. A1 (2，2)，B1 (4，1)，C1 (4，4)
8-1. △ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上.(1)作出△ ABC关于y 轴对称的△ A1B1C1，并写出点C1 的坐标；(2)作出△ ABC关于原点O对称的△ A2B2C2，并写出点C2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是(-3，2).(2)如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是(-3,-2).
构造中心对称图形在求线段长中的应用
如图 28.2-9，在△ ABC 中， AB=5， AC=13， BC 边上的中线 AD=6，求 BC 的长 .
技巧点拨当多条线段或多个角不在同一个图形中时，可构造中心对称图形，利用中心对称的性质将分散的条件转化到同一个图形中，这样便于解决问题.本题就是构造中心对称图形把分散的已知线段转化到同一个三角形中，然后利用勾股定理进行求解 .
构造中心对称在探索线段数量关系中的应用
如图 28.2-10， 在 △ ABC 中，∠ A=90°， D 为 BC 的中点， DE ⊥ DF， DE 交 AB 于点 E， DF交 AC 于点 F，试探索线段 BE， EF， FC 之间的数量关系 .
解题秘方：仿照例9 的解法，作出△BDE关于点D对称的三角形， 利用等线段的转化将BE，EF，FC集中到一个三角形中.
解： ∵ D 为 BC 的 中 点， ∴ BD=CD.∴ 可 作 △ BDE 关 于 点 D 对 称 的 △ CDM，如图 23.2-10 所示 .由中心对称的性质可得 CM=BE， MD=ED，
∠ DCM= ∠ B， M， D， E 三点共线 .∵∠ A=90° ， ∴∠ B+ ∠ ACB=90° .∴∠ DCM+ ∠ ACB=90° ，即∠ FCM=90° .连接 FM.∵ MD=DE， FD ⊥ ME， ∴ FM=FE.∵ 在 Rt △ FCM 中， FC2 +CM 2=FM 2， ∴ FC 2+BE 2=EF 2.
∵ MD=DE， FD⊥ ME，∴点F在线段ME的垂直平分线上.∴ FM=FE
解题策略线 段 BE， EF， FC的位置分散，很难直接得出三者间的数量关系，题目中已知D是BC的中点，所以作△ BDE关于点D对称的△CDM，将BE转化成CM，再连接FM，将EF转化成FM，将三个分散的元素转化到△ FCM中.
构造中心对称在等分图形的面积中的应用
如图 28.2-11 ①，直线 EF 经过平行四边形ABCD 对角线的交点 O，点 E， F 分别在 AD， BC 上，则 S四边形 AEFB=S 四边形 DEFC .
解：(1)如图 23.2-11 ②所示.(2)如图 23.2-11 ③所示.
(1)两个大小不同的正方形如图 28.2-11 ②摆放， O 为小正方形对角线的交点，求作过点 O 的直线 l，使 l 将整个图形分成面积相等的两部分；(2)8 个大小相同的正方形如图 28.2-11 ③摆放，求作直线m，使 m 将 8 个正方形分成面积相等的两部分(用三种方法分割) .
作图对策图 23.2-11 ② 中，小正方形的对称中心是点 O，画出大正方形的两条对角线，它们的交点就是大正方形的对称中心，过这两个正方形的对称中心的直线就是所求作的直线 l.
混淆关于原点对称的两个点坐标之间的关系
已知点 A(－2m－4，3m)关于原点对称的点在第四象限，求 m的取值范围 .
诊误区：易将关于原点对称的点与原来的点所在象限混淆.对称点在第四象限，则原来的点在第二象限.
[中考·徐州] 传统纹样作为中华传统文化的一部分， 具有深厚的底蕴. 徐州出土汉代玉器的下列纹样(如图28.2-12)， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
轴对称图形、中心对称图形的识别
试题评析：本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据两种图形的定义进行识别即可.解
解：A 是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；C 不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意.
[中考·湖北]如图28.2-13， 平行四边形ABCD的对角线交点在原点. 若A(-1，2)， 则点C的坐标是( )A. (2， -1)B. (-2， 1)C. (1， -2)D. (-1， 2)
利用关于原点对称的点的坐标特征求点的坐标
试题评析：本题考查关于原点对称的点的坐标特征. 由题意，结合平行四边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点O对称，从而得解.
解：∵平行四边形ABCD的对角线交点在原点， ∴点A与点C关于坐标原点O对称. ∵点A的坐标为(-1，2)， ∴点C的坐标是(1，-2).
1. [中考•广州]下 列 图 案 中，点 O 为 正 方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是(　　)
2.[中考•北京]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4. [中考·内江]如 图，在 平 面 直 角 坐 标系 中， △ ABC 的 顶 点 A 在 第 一 象限，点 B， C 的 坐 标 分 别 为(2，1)，(6，1)， ∠ BAC=90 ° ， AB=AC，直线 AB 交 y 轴 于 点 P， 若 △ ABC 与△ A′ B′ C′关于点 P 成中心对称，则点 A′的坐标为( )A.(－4， －5) B.(－5， －4)C.(－3， －4) D.(－4， －3)
5. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3－3x2+3x－1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称．若点A1(0.1， y1)， A2(0. 2 ， y2)， A3(0 .3， y3)， …，A19 (1.9， y19)， A20 (2， y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+… +y19+y20的值是( )A． －1 B． －0.729 C． 0 D． 1
6. [中考·常州]如图，在平面直角坐标系xOy 中，正 方 形 ABCD的对角线 AC， BD 相交于 原 点 O. 若 点 A 的 坐标 是(2，1)，则 点 C 的坐标是___________ .
7. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成了六部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6 和8 时，阴影部分的面积为_______
8. 如 图，在 平 面 直 角 坐标系中， △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5，4)， B(0，3)， C(2，1).(1)画出△ ABC 关于原点成中心对称的△ A 1B 1C 1，并写出点 C 1 的坐标；(2)画出将△ A 1B 1C 1 绕点 C 1 顺时针旋转 90° 所得的△ A 2B 2C 1.
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为(－2，－1)．(2)如图，△A2B2C1即为所求．
9. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知 A， D 1， D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2) .(1)求对称中心的坐标；
解：根据中心对称的性质，可得对称中心是D1D的中点．∵D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5)．