2025届湖南省郴州市汝城县高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2025届湖南省郴州市汝城县高三最后一卷数学试卷含解析，共6页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合的真子集的个数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( )
A．5B．6C．7D．8
3．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
4．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4)D．[0,4]
6．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
7．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A．B．C．D．
9．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A．1B．C．D．
10．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数,则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆Г：，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.
14．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.
15．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________
16．已知数列满足,且,则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明:平面
（2）若，求二面角的余弦值.
18．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
19．（12分）在平面直角坐标系xy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若成等比数列，求a的值。
20．（12分）已知等比数列是递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
22．（10分）设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．
2．B
【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以.
.所以
，即.
.当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为.
故选：B
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
3．B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.
故选:B.
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
4．A
【解析】
由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．
【详解】
由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，
在中，由余弦定理得，化简得．
故选：A．
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．
5．B
【解析】
作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．
故选：B．
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
6．A
【解析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．
【详解】
由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，
设是的中心，则平面，，，
外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，
∴，解得，
球体积为．
故选：A．
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
7．C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
9．C
【解析】
对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
对任意的总有恒成立
，对恒成立，
令，
可得
令，得
当，
当
，，
故
令，得
当时，
当，
当时，
故选：C.
本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
10．C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时，
故选：C
本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题
11．A
【解析】
用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.
【详解】
设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.
故选：A
本题考查了函数图像的性质，属于中档题.
12．D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率
【详解】
如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2a−t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设∠BAO=θ，则∠BAF1=2θ，所以Г的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，，所以，即e= =，
故答案为：.
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
14．
【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线C：（，，
可得一条渐近线，一个顶点，
所以，解得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
15．1
【解析】
令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，
令，可得，
所以.
故答案为：1.
本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．
【解析】
数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.
【详解】
，
数列是以3为公比的等比数列，
又，
，
．
故答案为：．
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量
，，最后求得二面角的余弦值为.
【详解】
解：（1）连结
∵ ，且是的中点，
∴
∵平面平面，
平面平面，
∴平面.
∵平面，
∴
又为菱形，且为棱的中点，
∴
∴.
又∵，平面
∴平面.
（2）由题意有，
∵四边形为菱形，且
∴
分别以，，所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
设平面的法向量为
由，得，
令，得
取平面的法向量为
∴
二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为
处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
18． (I) ；(II)证明见解析
【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.
【解析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）由直线l的参数方程消去参数t得,
，即为l的普通方程
由，两边乘以得
为C的直角坐标方程.
（2）将代入抛物线得
由已知成等比数列，
即，，，
整理得
（舍去）或.
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
20． (1) (2)
【解析】
（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和．
【详解】
解：（1）由是递增等比数列，，
联立 ，解得或，
因为数列是递增数列，所以只有符合题意，
则，结合可得，
∴数列的通项公式：；
（2）由，
∴；∴；
那么，①
则，②
将②﹣①得：
．
本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.
21．（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
22． (Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)求导得到，，解得答案.
(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.
【详解】
(Ⅰ)，故，
，故.
(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
，故当时，.
本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100