湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析

这是一份湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡等内容，欢迎下载使用。
（试题卷）
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共 6 页，有四道大题，共 19 道小题，满分 150 分．考
试时间 120 分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡的指定位置．
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答
题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交．
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1. 已知集合 ，则 （· ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到 ，根据并集概念求出答案.
【详解】 ，又 ，故 .
故选：B
2. 已知实数 满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式性质得到 ，得到答案.
【详解】 ，又 ，
故 ，即 .
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故选：D
3. 已知 ，则 是 （ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据推出关系得到答案.
【详解】 ，但 ，
故 是 的充分不必要条件.
故选：B
4. 已知 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】变形得到 ，由指数函数单调性，对数函数单调性及中间值比较出大小.
【详解】 ，
又 ， 在 R 上单调递增，故 ，即 ，
所以 .
故选：A
5. 函数 的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合得到递增区间.
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【详解】 的图象如下：
显然 的单调递增区间为 .
故选：D
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式和二倍角公式得到答案.
【详解】
故选：A
7. 已知函数 ，方程 恰有三个不同的实数解，则 可能的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合得到 ，得到答案.
【详解】画出 的图象，
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显然当 时，方程 恰有三个不同的实数解，C 正确，ABD 错误.
故选：C
8. 已知函数 为 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
的值为（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用奇函数的性质求出 的值，再根据已知条件推出函数的周期，然后将所求的
通过周期转化到已知区间上进行计算.
【详解】因为函数 是 上的奇函数，那么 .
已知当 时， ，所以 ，解得 .
此时 .
已知 ，则 .
用 代替 可得： .
所以 ，这表明函数 的周期 .
因为 ，所以 .
由 可得 .
又因为 是奇函数，所以 .
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当 时， ，则 ，所以 .
因为 ，所以 .
那么 .
所以 的值为 .
故选：C.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得.
【详解】对于 A，取 ， ，A 错误；
对于 B，若 ，则 ， ，B 正确；
对于 C，若 ， ，则 ，C 正确；
对于 D，若 ，则 ，则 ，D 错误.
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ”的否定形式是“ ”
B. 函数 （ 且 ）的图象过定点
C. 方程 的根所在区间为
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D. 若命题“ 恒成立”为假命题，则“ 或 ”
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，A 错误；B 选项，
由对数函数的特征得到图象过定点 ，B 正确；C 选项，由零点存在性定理和函数单调性得到 C 正确；
D 选项，先得到 成立为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】A 选项，命题“ ”的否定形式是“ ”，A 错误；
B 选项，令 ，故 ，此时 ，
（ 且 ）的图象过定点 ，B 正确；
C 选项，令 ，显然其在 R 上单调递减，
又 ， ，
故 的零点在 内，
故方程 的根所在区间为 ，C 正确；
D 选项，命题“ 恒成立”为假命题，
则命题“ 成立”为真命题，
故 ，解得 或 ，D 正确.
故选：BCD
11. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
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A.
B.
C. 若 上恰好有三个零点，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项，由图象可得最小正周期 ，从而求出 ；B 选项， ，代入 ，结
合 得到 ；C 选项，先求出 ，进而可得到 ，求
出答案；D 选项，先求出 ，结合函数的最小正周期，得到答案.
【详解】A 选项，设 的最小正周期为 ，由图象可知， ，即 ，A 正确；
B 选项，由图象可知 ，故 ，
将 代入解析式得 ，即 ，
又 ，故 ，解得 ，B 错误；
C 选项，由 B 知， ，
当 时， ，
在 上恰好有三个零点，故 ，解得 ，C 正确；
D 选项，由 A 知， 的最小正周期为 6，
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其中 ，
， ， ，
故 ，
所以
，D 正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知幂函数 为偶函数，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出 或 ，检验后得到 不合要求，得到答案.
【详解】根据幂函数定义知， ，解得 或 ，
当 时， ，为奇函数，不合要求，
当 时， ，定义域为 ，
故 ，满足 为偶函数，满足要求.
故答案为：
13. 将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 的图象，则
的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，得到方程，求出 ，得到最小值.
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【详解】 的图象向左平移 个单位后，得到 ，
从而 ，解得 ，
又 ，故当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案 ：
14. 已知函数 ，且 ，则 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先构造一个新函数，利用其奇偶性和单调性来解决不等式问题
【详解】设 .
证明 是奇函数：
，则 .
根据对数运算法则，可得 .
由于 .
所以 ，即 ，所以 是奇函数.
证明 是增函数： 在 上单调递增, 在 上单调递增
则 在 上单调递增,又因为对数函数 在 上单调递增，根据复合函数同增
异减的原则， 在 上单调递增.
又 是奇函数，故 在 上单调递增.
已知 ，即 ，也就是 .
因为 是奇函数，所以 .
因为 在 上单调递增， ，所以 .
移项可得 ，即 ，解得 .
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故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况，得到不等式，求出实数 的取值范围；
（2）分 和 ，得到不等式，求出答案.
【小问 1 详解】
，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 或 ；
【小问 2 详解】
，当 时， ，解得 ，
当 时， 或 ，
解得 或 ，
故实数 的取值范围为 或 .
16. 已知 ．
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（1）求 的最小正周期与单调递增区间；
（2）已知 ，角 的终边与单位圆交于点 ，求 ．
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，从而利用 求出最小正周期，并整体法
求出单调递增区间；
（2）根据 及 求出 ，结合三角函数定义得到 ，由余
弦二倍角公式求出答案.
【小问 1 详解】
，
故 的最小正周期为 ，
令 ， ，解得 ， ，
故单调递增区间为
【小问 2 详解】
，即 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ，
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角 的终边与单位圆交于点 ，故 ，
所以
.
17. 某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果．经调研发
现该果树的单株产量 （单位：千克）与施肥量 （单位：千克）满足函数关系：
且单株果树的肥料成本投入为 元，其他成本（如树苗费、人工费等）
元．已知单株施肥量为 7 千克时，产量为 千克，这种水果的市场售价为 20 元/千克，且都能
卖完，记该果树的单株利润为 （单位：元）．
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ， ；
（2）故当单株施肥量为 4 千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是 400 元.
【解析】
【分析】（1）由题意得到 ，解得 ，并分 和 两种情况，得到
的解析式；
（2）分 和 两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到结论.
【小问 1 详解】
已知单株施肥量为 7 千克时，产量为 千克，
故 ，解得 ，
，
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当 时， ，
当 时， ，
故 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
对称轴为 ，开口向上，故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
当 时，
，
由基本不等式得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
由于 ，故当单株施肥量为 4 千克时，该果树的单株利润最大，
最大利润是 400 元.
18. 已知 为偶函数．
（1）求 ；
（2）设 ，对 ，都有 成立，求 的取值范
围．
【答案】（1）
（2）
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【解析】
【分析】（1）根据函数为偶函数，得到 ，化简得到 ，求出 ；
（2）只需 在 上的最大值小于等于 在 上的最小值，求出 的最小
值为 ，并分 ， 和 三种情况，得到 的最大值，得到不等式，求出答案.
【小问 1 详解】
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
即 ，
其中 ，
故 ，解得 ；
【小问 2 详解】
对 ，都有 成立，
只需 在 上 最大值小于等于 在 上的最小值，
其中 ，
由复合函数性质得 在 上单调递增，
故最小值为 ，
开口向下，对称轴 ，
当 时， 在 上单调递减，最大值为 ，
故 ，解得 ，
结合 与 可得 ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故最大值为 ，
故 ，解得 ，
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结合 与 可得 ，
当 时， 在 上单调递增，
故最大值为 ，
故 ，解得 ，
结合 和 ，此时无解，
综上， 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：第二问需先转化为 在 上的最大值小于等于 在 上的
最小值，再进一步进行求解
19. 若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使得 成
立，则称该函数是“依赖函数”．
（1）判断 是否是“依赖函数”，并说明理由；
（2）若 在定义域 上是“依赖函数”，求 的值；
（3）已知函数中 在定义域 上是“依赖函数”，记
，若 的解集中恰有两个整数，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 不是“依赖函数”，理由见解析；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）举出反例，得到 不是“依赖函数”；
（2）整体法得到 ， ， 在定义域 上单调递增，且
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，从而得到 ，求出 ；
（3）当 时， ，举出反例得到 在定义域 上不是“依赖函数”，当
时， 在 上单调递增，要想 在定义域 上是“依赖函数”，需满足
，解得 ，再分 ， 和 三种情况，由 的解集中恰有两个整数，
得到 的取值范围.
【小问 1 详解】
不是“依赖函数”，理由如下：
当 时， ，则 ，
故 ，解得 ，
所以 不是“依赖函数”；
【小问 2 详解】
时， ，显然 ，
解得 ，
在定义域 上单调递增，且 ，
由题意得，当 时， ，
要想满足存在唯一的 使得 ，
则 ， ，解得 ；
【小问 3 详解】
当 时， ，
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故对于 ，不存在 ，使得 ，
在定义域 上不是“依赖函数”，
当 时， 在 上单调递增，
要想 在定义域 上是“依赖函数”，
需满足 ，即 ，
解得 （舍去）或 0，
故 ，
若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
若 ，此时 的解集为 ，不合要求，
若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
综上，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用
书上的概念.
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