兰州市2024-2025学年高三第二次联考数学试卷含解析

这是一份兰州市2024-2025学年高三第二次联考数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知复数z满足等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边经过点P()，则sin()=
A．B．C．D．
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
4．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
6．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A．B．C．D．
7．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
8．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．D．1
11．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递增
C．函数的对称中心是
D．函数的对称轴是
12．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）
A．1．1B．1C．2．9D．2．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合,,则__________．
14．在等比数列中，，则________．
15．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
16．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
18．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点
（1）求证：平面平面；
（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值
19．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：等比数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.
20．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①，②，其中均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令，经计算得如下数据：
（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
② 参考数据：，，．
21．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.
22．（10分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
2．A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：
本题选择A选项.
3．D
【解析】
由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．
【详解】
解：由题意，圆的圆心为，半径，
∵圆心到直线的距离为，
，
，
故选：D．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
5．D
【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合
，
故选：D.
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
6．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
7．A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
8．A
【解析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】
解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A.
本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
9．C
【解析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
10．C
【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线的离心率，
则，，解得，所以焦点坐标为，
所以，
则双曲线渐近线方程为，即，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，
故选：C.
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.
11．B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.
【详解】
由图象可得，函数的周期，所以.
将点代入中，得，解得，由，可得，所以.
令，得，
故函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故A正确；
令，得，
故函数在上单调递增.
当时，函数在上单调递增，故B错误；
令，得，故函数的对称中心是，故C正确；
令，得，故函数的对称轴是，故D正确.
故选：B.
本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12．C
【解析】
根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.
【详解】
初始值，
第一次循环：，；
第二次循环：，；
第三次循环：，；
第四次循环：，；
第五次循环：，；
第六次循环：，；
第七次循环：，；
第九次循环：，；
第十次循环：，；
所以输出.
故选：C
本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
直接根据集合和集合求交集即可.
【详解】
解: ,
,
所以.
故答案为:
本题考查集合的交集运算,是基础题.
14．1
【解析】
设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.
【详解】
设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.
故答案为：1
本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.
15．
【解析】
先求导，再根据导数的几何意义，有求解.
【详解】
因为函数，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
16．
【解析】
确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求的取值范围．
【详解】
函数的定义域为，，
依题意，方程有两个不等的正根、（其中），
则，由韦达定理得，，
所以，
令，则，，
当时，，则函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，所以，.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）当 时，直线l方程为x＝－1；当 时，直线l方程为
y＝(x＋1)tanα； x2＋y2＝2x （2）或.
【解析】
（1）对直线l的倾斜角分类讨论，消去参数即可求出其普通方程；由，即可求出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据条件Δ＝0，即可求解.
【详解】
(1)当时，直线l的普通方程为x＝－1；
当时，消去参数得
直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.
由ρ＝2cs θ，得ρ2＝2ρcs θ，
所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcs α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，
整理得t2－4tcs α＋3＝0.
由Δ＝16cs2α－12＝0，得cs2α＝，
所以cs α＝或cs α＝，
故直线l的倾斜角α为或.
本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与曲线的关系，属于中档题.
18．（1）见解析（2）
【解析】
（1）推导出，，从而平面，由面面垂直的判定定理即可得证．
（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；
【详解】
（1）因为，面
，，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，
则，设，
则平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，即，令，
如图二面角的平面角为锐角，设二面角为，
则，
时取得最大值，最大值为，则最小值为
本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
19．（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.
（2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.
【详解】
（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：
等比数列是“数列”.
（2）证明：既是“数列”又是“数列”，
可得，（） （）
，（）
可得：对于任意都成立，
即 成等比数列，
即成等比数列，
成等比数列，
成等比数列，
设，（）
数列是“数列”
时，由（）可得：

时，由（）可得：
，
可得，同理可证
成等比数列，
数列是等比数列
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.
20．（1）模型的拟合程度更好；（2）（i）；（ii）亿元.
【解析】
（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）（i）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（ii）把代入（i）中的回归方程可得值．
【详解】
本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、综合性与应用性．
解：（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）（i）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（ii）下一年销售额需达到90亿元，即，
代入得，，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元
本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性
21．（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；
（2）①若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当，，，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．
【详解】
解：（1），，且为非零常数，，，
可得，
可得数列的首项为，公差为的等差数列，
可得，前项和为；
（2）①若，可令，，
且，即，，，，
对任意的，，可得，
可得，，
数列是等比数列，则，，
可得，，即，
又，即有，即，
数列是等比数列的充要条件为；
②证明：对任意的，，，，，
当，，，
可得，即以为首项、为公比的等比数列；
同理可得以为首项、为公比的等比数列；
对任意的，，可得，
即有，
所以对，，，
可得，，
即且，则，可令，
故数列，，，，，，，，，
是以为首项，为公比的等比数列，其中．
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
22．（1）（2）存在；常数，定值
【解析】
（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.
【详解】
（1）解析：（1）设，，
由题可得
，解得
又，即，
消去得：
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
设，
由可得：
由点到的距离为定值可得（为常数）即
得：
即
，
又
为定值时，，此时，且符合
当直线的斜率不存在时，设直线方程为
由题可得，时，，经检验，符合条件
综上可知，存在常数，且定值
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.