北京市十一学校2026届高三下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市十一学校2026届高三下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共10页。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 若复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的四则运算求解即可．
【详解】由题意得复数，则iz=i1+2i=−2+i ，
则在复平面上对应的点，位于第二象限.
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由B=x|00 ；
若，则，，所以Sn5a3>0 ， ，
且，，，，即，
归纳可得且，所以，所以③正确；
对于④，由特征方程r3−2r+1=0 ，可得，
解得，则，
其中，则α1 ，
假设，则，
因为是无理数，要使得所有，必须，
否则会产生无理数的部分，无法始终抵消，
因为β>1 ，所以，因为，所以符号交替，
所以当充分大时，成立，所以④正确；
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，，．
（1）求的值；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长．
条件①：边上的高为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选择条件，答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理即可求出.
（2）根据正弦定理、余弦定理求出解三角形，并判断是否唯一，再根据余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由可得，，即，
由正弦定理可得，，所以.
又，所以.
【小问2详解】
已知，，，
所以为锐角，且.
条件①：边上的高为，则，即，所以.
又，
所以，所以，
综上，，，，所以存在且唯一.

在中，，，，
所以.
故边上中线的长为.
条件②：
由可得，，又，所以可以为钝角，也可以为锐角，不唯一.
条件③：，则为钝角，此时存在且唯一.
.
由可得，.

在中，，，，
所以,
整理得，，解得或（舍去）.
在中，，，，
所以.
故边上中线的长为.
17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为.
（1）证明：；
（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或.
【解析】
【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解.
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，
∴.
【小问2详解】
取的中点，连接，，
∵是边长为4的等边三角形，∴，
∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，F0,−4,23，G0,0,23，
，AF=−23,−4,23，，
设平面的法向量为，
则m⊥ACm⊥AF，由，
令，则，，，
假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
设，，
则，
∵平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
∴csm,DE=m⋅DEmDE=23−43λ5×3+(2λ−3)2+12λ2=610，
整理得，解得或，
所以在线段（不含端点）上存在点，当或时，
直线与平面所成角的正弦值为.
18. 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立.
（1）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（2）现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率；
（3）对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，通过计算比较的大小关系.
【答案】（1）140 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）完善表格，得到到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率，频率估计概率即可估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
（2）由男女比例得到抽取情况，分别求出男女教师认为对于教学“很有帮助”的概率，然后分别求得“这1人”为男老师和女老师的概率，然后求和得到结果；
（3）由题意分别求出，然后比较.
【小问1详解】
根据表格中数据，完善表格，
可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为；
【小问2详解】
男女比例为，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，
女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为，
抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，
则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，
1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为，
故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为；
【小问3详解】
，
，
，
因为，所以.
19. 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义可得，，由即可求得，进而写出椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程利用韦达定理得到，，从而得到，，求出的中点坐标代入直线方程可得答案.
【小问1详解】
因为短轴长为2，所以，
因为，
所以，，
又因为轴，所以，
则，且，解得，
则椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，则，，
联立，整理得，
则，，则，
直线：，
令，得，
故，，，
则的中点坐标为，
由于与的面积相等，故到直线的距离相等，
因此的中点在上，
可得，，
则，解得，又，所以.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；
（3）当时，直线与曲线有三个交点，设的取值集合为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出函数在处的函数值与导数值，再利用点斜式写出切线方程；
（2）先对因式分解，分析 的零点个数与的关系，再通过分类讨论不同下的单调性与极值点情况，确定的取值范围；
（3）先求出的表达式，构造差函数ga=q−p ，再通过求导分析的单调性与端点极限，从而确定 的取值范围.
【小问1详解】
fx=2ex−e−x−3x ，所以，
又f'x=2ex+e−x−3 ，所以，所以切线方程为y−f0=f'0x−0，
即.
【小问2详解】
f'x=(a−1)ex+e−x−a=(a−1)e2x−aex+1ex=(a−1)ex−1ex−1ex
当或时，只有一个零点，不可能有两个极值点；
当时，令，得或，
当时，与的变化情况如下表：
当时，与的变化情况如下表：
综上：的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）可得，p=fln1a−1=2−a+aln(a−1) ，
令，g'a=2−ln(a−1)−aa−1，
令ℎa=2−lna−1−aa−1，则ℎ'a=2−aa−12>0 在恒成立，
所以在单调递增，即在单调递增，
g'a