北京市丰台区2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市丰台区2026届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），共17页。
本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的虚部是．
A. B. C. D.
3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°
C. 120°D. 150°
5. 已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（ ）
A. B. 2
C. D. 4
6. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B.
C. 1D. 3
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D. 2
8. 已知函数，，若的最大值为，则（ ）
A. ，有2个零点B. ，有3个零点
C. ，有2个零点D. ，有3个零点
9. 已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知曲线.下列结论正确的是（ ）
A. 曲线上的任意一点在圆的内部
B. 曲线上的任意一点在圆的外部
C. 曲线上存在点，使
D. 曲线上存在点，使
第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 不等式的解集是___________.
12. 已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________.
13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________.
14. 随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达，则它的总能耗为___________个单位；再从出发运动到，那么它从到的所有路径中，总能耗的最小值为___________个单位.
15. 已知是棱长为2的正方体表面及其内部的点，直线与直线所成的角为，且，给出下列四个结论：
①满足条件的点有无数个；
②点的轨迹是一段圆弧；
③线段长度的最大值为2；
④三棱锥体积的最大值为.
其中正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点.
（1）求证：为的中点；
（2）若是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表.
（1）求的值；
（2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望；
（3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案：
方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分；
方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分.
用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点.
20. 已知函数是的导函数.
（1）若，求的值；
（2）若存在最大值，求的取值范围；
（3）设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21. 已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质.
（1）判断下列无穷数列，是否具有性质.
①；
②.
（2）对于任意具有性质的数列，记.求证：；
（3）若数列具有性质，证明：集合是无限集.
综合得分
频数
频率
60
0.6
30