安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2025~2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2025~2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】在中，，
由正弦定理得，
由，得，所以.
3. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数乘法运算，结合虚部概念即可求解.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线和平面满足，，不在平面内，则
B. 若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面
【答案】A
【解析】
【详解】选项A：过直线作平面，设，
又∵，∴，又∵，∴
又∵且，∴.因此A正确.
选项B：如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行或异面，故B错误；
选项C：平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误；
选项D：如果，是两条直线，且，那么平行于经过但不经过的任何平面，故D错误.
5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D.
【详解】解：如图，
是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短，
，，故C错误；
设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误；
，故B正确；
该船到达对岸的时间为分钟，故D错误．
故选：B.
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，，，，，
，
如图，原四边形中，，，，，，
直角梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为：
S=πCD2+πAB2+πCD+ABBC=4π+16π+6π×422+22=56π ．
7. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ）
A. 20B. C. 10D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得.
【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为，
则，
故，即；
由在上的投影向量的坐标为，
则，
故，即；
即有，解得，则，
则.
8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解.
【详解】
连接，与交于点，连接，交于G，连接，
由于平面，平面，平面平面，
所以BF//OG ，由于O是的中点，
所以，
过F作FH//CE ，交于H，则，
因为，所以，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
【答案】BC
【解析】
【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ）
A. 已知，则、不一定为共轭复数
B. 若，则
C. 若为纯虚数，则
D. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例说明结合共轭复数的概念和复数的乘法公式计算即可判断AB；根据复数的有关概念建立关于的方程组，结合复数的几何意义计算即可判断C；根据复数乘、除法运算，结合复数的几何意义计算即可求解.
【详解】对于A选项，不妨取，，则，
但、不互为共轭复数，故A正确；
对于B选项，不妨取，，则，
但，，即，故B错误；
对于C选项，由题意知，解得，得，所以，故C正确；
对于D选项，因为，
所以表示以点为圆心，半径为2的圆及其内部，
表示以点为圆心，半径为1的圆及其外部，
所以点所在的区域如图所示，
故点所在的区域的面积为，故D正确.
11. 已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内
C. 点P的轨迹长度为
D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断；由得到，进而根据等边三角形的内切圆半径为求得点的轨迹，再求轨迹长度判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点，，的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D．
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；
对于B，设的内切圆的半径为，则根据等面积法有：，解得，
因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且，
所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确；
对于C，由A选项知，侧面，且，
因为点在侧面内（包含边界）运动，且
所以，
因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，，
所以，点在侧面内的轨迹为弧和，
而,故，故为等边三角形，
所以，所以点的轨迹长度为，故C错误；
对于D，设正四面体的内切球的半径为，
由等体积法可得，解得，
因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球，
又因为，，，
所以为的中点，过点，，的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm的正方体），用来展示NaCl晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知正八面体的底面边长以及高，代入公式即可求解.
【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形，
正四棱锥的高为正方体棱长的一半即，
所以正八面体的体积为.
13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后确定横坐标范围从而得出数量积取值范围.
【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形，
又因为，且等边三角形，
所以，又因为，所以，
作垂直于直线于，
在直角中，，
所以，，
作垂直于直线于，根据等腰梯形的对称性可得：
，即，
所以大三角形的边长为4，，
以为原点，为轴，垂直于为轴，建立直角坐标系，
则，，
所以，作垂直于直线于，
在三角形中，，
，所以，
平移直线到，则，
所以，作垂直于直线于，
在三角形中，，
，所以，
根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为，
则，设，则，
因此：问题转化为求点横坐标的范围，
又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为，
且对梯形内任意点，，
因此，即的取值范围是.
14. 中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理、三角形面积公式、基本不等式得到，再通过换元，平方，结合二次函数即可求解.
【详解】由题
又，
令，
则
则有且时，原式取最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）设求；
（2）若 与垂直，求的值.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；
（2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，∴．
【小问2详解】
，
由于与垂直，∴，∴．
16. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理进行求解即可；
（2）运用正弦定理，结合两角和正弦公式、余弦函数的最值性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
【小问2详解】
由正弦定理可得，，
则
.
由，得.
17. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可；
（2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可.
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点，连接，
由题可知，且.
则易有与相似，且相似比为1:2，即.
又，则，故，
因为平面，平面，故平面.
【小问2详解】
设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为，
三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为，
三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，
由题有，
又，故，即，
则，又，
有，
即四棱锥与三棱锥的体积之比为.
18. 如图在直角梯形中，，，点E为的中点，以A为圆心为半径作圆交于点G，点P为劣弧（包含D，G两点）上的一点，与劣弧、分别交于点F，H．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量，求实数x，y的值；
（3）求向量与的夹角的最大值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据题意建立以点为原点的平面直角坐标系，再根据向量夹角的坐标运算求解即可
（2）先根据平面向量基本定理得到，再结合，，三点共线求出，进而建立方程组求解即可；
（3）方法一：依题意可得以为直径的圆与圆外切，再结合圆周角大于圆外角，进而得到向量与的夹角的最大值；方法二：设，从而，得到点的坐标，再结合三角函数的性质求出的取值范围，进而即可得解．
【小问1详解】
依题意可得，则，
所以以点为原点，，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，，
所以AC=2,−3，，
显然向量与的夹角等于向量与的夹角，
所以csα=AC⋅BEAC⋅BE=3−327×3=2114．
【小问2详解】
由，
又因为，，三点共线，所以，解得，
又BH=xBD+yAC=xBA+12BC+yBC−BA，
所以x−y=25x2+y=35，解得，．
【小问3详解】
法一：取的中点，则，
所以以为直径的圆与圆外切，
因为圆周角大于圆外角，
所以的最大值为．
法二：设，，
且如（1）所建平面直角坐标系，则，
则BP=csθ,3−sinθ，CP=csθ−2,3−sinθ，
所以=4−2csθ+3sinθ=4−4sinθ+π6，
又，则，则sinθ+π6∈12,1，所以BP⋅CP∈0,2，
所以取到最小值0，即向量与的夹角的最大值为．
19. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的的三等分点上.设，，.
（1）用，表示，，；
（2）如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离；
（3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.
【答案】（1），；
（2）；
（3）12公里.
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；
（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解.
（3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案.
【小问1详解】
依题意，得，因为点为中点，所以，
又在靠近岛屿的的三等分点上所以，
又，，所以，
；
【小问2详解】
依题意，得，即，
由可得，则，
又，所以，
所以，
所以岛屿到补给站的距离；
【小问3详解】
由，可得，
即，
可得，即，
设，，由正弦定理知，
而
，所以，
因为，所以，得，
所以当，即时，取得最小值144，
即的最小值为12，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为12公里.