安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题（含答案解析）

这是一份安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 设集合，，则（ ）
2. 若向量，的夹角为，且，，则（ ）
3. 有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（ ）
4. 三棱锥中，，为中点，且，，和均为面积为的锐角三角形，则当三棱锥的体积取得最大值时，（ ）
5. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
6. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
7. 已知数列满足，，，设，则数列的前21项和为（ ）
8. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知虚数满足，则（ ）
10. 如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
11. 在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 的展开式中，的系数为_____________．
13. 已知直线与曲线相切，则直线的方程为：__________.
14. 在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知函数，曲线在点处的切线为.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.
16. 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分.
(1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率；
(2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望；
(3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.
17. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
18. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相切于点．
（ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．
19. 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质，注：若数列的各项满足（或，则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列.
(1)若，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质；
(3)已知函数，试判断数列是否具有性质.
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面向量、计数原理与概率统计、函数与导数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、平面解析几何、数列、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．4
D．3
A．260种
B．220种
C．160种
D．130种
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．30
B．14
C．12
D．6
A．的实部为
B．的虚部为
C．
D．可能为纯虚数
A．点到平面的距离是到平面的距离的倍
B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．若线段 ，则的最小值是
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
8
较难
6
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算
2
0.85
已知数量积求模
3
0.65
分组分配问题
4
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；证明线面垂直；余弦定理解三角形
5
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
6
0.85
利用余弦函数的单调性求参数；由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
7
0.65
由递推关系式求通项公式；分组（并项）法求和；求等比数列前n项和
8
0.4
函数周期性的应用；由对称性研究单调性；函数基本性质的综合应用
二、多选题
9
0.65
复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；求复数的实部与虚部
10
0.4
多面体与球体内切外接问题；求空间中两点间的距离；点到平面距离的向量求法；求双曲线的轨迹方程
11
0.4
求抛物线的切线方程；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求两曲线的交点；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
三、填空题
12
0.85
求指定项的系数
13
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；直线过定点问题；导数的运算法则
14
0.4
由直线与圆的位置关系求参数；光线反射问题(2)——直线关于直线对称
四、解答题
15
0.65
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题
16
0.65
实际问题中的组合计数问题；求离散型随机变量的均值；实际问题中的计数问题；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
求二面角；面面角的向量求法；补全线面平行的条件；空间线段点的存在性问题
18
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中的定值问题；将军饮马问题求最值；椭圆中的直线过定点问题
19
0.15
等差数列与等比数列综合应用；数列新定义；用导数判断或证明已知函数的单调性；建立二项分布模型解决实际问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
平面向量
2
3
计数原理与概率统计
3,12,16,19
4
函数与导数
4,8,11,13,15,19
5
空间向量与立体几何
4,10,17
6
三角函数与解三角形
4,6
7
平面解析几何
5,10,11,13,14,18
8
数列
7,19
9
复数
9