浙江名校新高考研究联盟（Z20⁺名校联盟）2026届高三下学期5月第三次学情诊断数学试题及答案

这是一份浙江名校新高考研究联盟（Z20⁺名校联盟）2026届高三下学期5月第三次学情诊断数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，若随机变量，随机变量且，则，数列满足，且，将一颗质地均匀的骰子等内容，欢迎下载使用。
审题：路桥中学 朱映颖 平阳中学 徐荣波 桐庐中学 夏一帆 校稿：李慧华、吕金晶
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ）
A.B.C.D.
4．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（ ）
A.40B.50C.60D.70
5．若随机变量，随机变量且，则（ ）
A.B.C.2D.4
6．在平行六面体中，记三棱锥的体积分别为，则（ ）
A.B.C.D.
7．已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A.8B.6C.4D.2
8．数列满足，且．若，则的最小值为（ ）
A.7B.8C.9D.10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知两个平面和两条直线a，b，满足，下列命题正确的是（ ）
A.若不垂直，则a，b不可能垂直B.若垂直，则a，b可能不垂直
C.若不平行，则a，b不可能平行D.若平行，则a，b可能不平行
10．将一颗质地均匀的骰子（点数为1-6）连续拋掷3次，记录向上的点数，则（ ）
A.三个点数之积大于150的概率为
B.三个点数之和大于10的概率为
C.若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为
D.若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为
11．在一块木板上绘制平面直角坐标系，在四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则（ ）
A.轨迹上任意一点到原点距离的最大值为3
B.轨迹上任意一点到原点距离的最小值为
C.轨迹的面积大于20
D.直线与轨迹最多有2个公共点
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知二项式，若，则正整数的最小值为____________．
13．设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，____________．
14．抛物线上的A，B两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足．且．若的面积为9，则点坐标为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的取值范围．
16．（15分）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
17．（15分）正项数列的前项和，且．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
18．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN．
（1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积；
（2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离；
（3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知函数．
（1）当时，求函数的最值；
（2）讨论方程解的个数；
（3）若方程存在两个解，且满足，证明：．
名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026届高三第三次学情诊断数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12．413．14．
四、解答题
15．（1），即，
化简可得．
若，此时．
6分
（2）由可得或．
①若，由可得，与条件矛盾；
②若，则，解得．则．
13分
16．（1）由渐近线方程为得
左顶点坐标为，则点到渐近线的距离，
解得
双曲线的标准方程为6分
（2）设点，
过点的直线，与双曲线联立，
化简得
根据韦达定理，可得9分
点坐标为
直线与直线的交点坐标为，同理可得点.
11分
15分
17．（1）证明：当时，，解得．
当时，
.
与作差可得：，则．
，
．
即数列是等差数列．6分
（2）
当时，
，
．9分
.
15分
18．（1）的外心为AB中点的外心为CP中点，
取线段AC中点，则
设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，．
5分
（2）以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系．
，设二面角的平面角为，则．
设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为，
由，
解得．
由平面平面ACN，可得，解得．
点为线段PB上靠近点的三等分点，可得
由，解得
即二面角的平面角为8分
此时
点到平面ACP的距离11分
（3）已知，点横坐标为1．
点在平面yCz上，所以点横坐标为0．
可得．
设，
由（2）得平面ACN的法向量．
由，解得
即．
根据条件，得，解得
在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为17分
19．（1）当时，，求导可得
函数在单调递增，在单调递减．
函数有最大值，无最小值．5分
（2）函数是奇函数，始终是方程的一个解．
不妨令，
，可化简为
构造函数，
求导可得
①当恒成立，因此在单调递增．
故在单调递增，故．
即方程在无解．
根据函数是奇函数可知在也无解8分
②当，由，可得在单调递减，在单调递增．
由可得，存在使．
当单调递减；当单调递增．
，函数在有一个零点．
即方程在有一个解．
根据函数是奇函数可知在有另一个根．11分
综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解．
（3）由（2）可得此时，且．
．
即证：．
因为是方程的解，代入可得．
消可得
设
函数在单调递增，所以．
又因为，
所以17分1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
D
B
C
A
B
9
10
11
BD
ABD
BCD