浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2026届高三下学期第三次学情诊断数学试题 含解析

这是一份浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2026届高三下学期第三次学情诊断数学试题 含解析，共9页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷等内容，欢迎下载使用。
命题：余姚中学 马浩东、李建标
审题：路桥中学 朱映颖 平阳中学 徐荣波 桐庐中学 夏一帆 校稿：李慧华、吕金晶
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题
纸规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷
纸上答题一律无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第 I 卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ，即 ，解得 ，所以 ，
，即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
2. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数 ，利用复数的几何意义可得出结论.
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【详解】由于 ，其在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3. 已知 是空间的一组基底，则能与 构成另一组基底的是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可．
【详解】对于选项 A，假设存在实数 ， ，使得 ，
则 ，方程无解，即不存在实数 ， 使得上式成立，
所以 ， ， 不共面，能构成一组基底，故 A 正确；
对于选项 B，假设存在实数 ， ，使得 ，
则 ，解得 ，即存在实数 ， 使得上式成立，
所以 ， ， 共面，不能构成一组基底，故 B 错误；
对于选项 C，假设存在实数 ， ，使得 ，
则 ，解得 ，即存在实数 ， 使得上式成立，
所以 ， ， 共面，不能构成一组基底，故 C 错误；
对于选项 D，假设存在实数 ， ，使得 ，
则 ，解得 ，即存在实数 ， 使得上式成立，
所以 ， ， 共面，不能构成一组基底，故 D 错误．
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4. 已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第 百分位数为 4，则 不可能是（ ）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
【答案】D
【解析】
【分析】按 分类，结合第 百分位数的定义逐项分析判断.
【详解】对于 A，当 时，由 ，得该组数据的第 百分位数为由小到大排列的第 3 个数
4，A 可能；
对于 B，当 时，由 ，得该组数据的第 百分位数为由小到大排列的第 3、4 个数的平均
数 4，B 可能；
对于 C，当 时，由 ，得该组数据的第 百分位数为由小到大排列的第 4 个数 4，C 可
能；
对于 D， ，无论 取何值，该组数据由小到大排列的第 5 个数不可能为 4，因此 不可能为
，D 不可能.
5. 若随机变量 ，随机变量 且 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得， ，
因为 ，所以 ，则 ，则
6. 在平行六面体 中，记三棱锥 的体积分别为 ，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等体积方法计算 ，利用割补法计算 .
【详解】设平行六面体的体积为 ，上下底面的面积为 ，高为 ，
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则 ， ，
，
故 .
7. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，若函数 的值域为
，则函数 的最大值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.
【详解】由函数 的值域为 ，得 ，
由 是定义在 上的奇函数，得 ，
由 是定义在 上的偶函数，得 ，
则 ，则 ，
所以 ，
而函数 与 的值域相同，
所以函数 的最大值为 8.
8. 数列 满足 ，且 ．若 ，则 的最小值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
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【解析】
【分析】因式分解，分析数列的递推规律，然后逆向分析即可得解.
【详解】由 得 ，
整理得 ，
得 或 ，即 或 ，
所以数列 从第二项开始，每一项由前一项加 2 或乘 2 得到，
因为 ，所以数列 中的所有项都是偶数，
因为 ，则 或 ，要使 最小，则 ，
又数列 中的所有项都是偶数，所以 ，
则 或 ，要使 最小，则 ，
所以 或 ，要使 最小，则 ，
所以 或 ，要使 最小，则 ，
因为 为偶数，所以 ，则 ，即 ， .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知两个平面 和两条直线 ，满足 ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 不垂直，则 不可能垂直 B. 若 垂直，则 可能不垂直
C. 若 不平行，则 不可能平行 D. 若 平行，则 可能不平行
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间中面面位置关系与线线位置关系的判定，可通过生活中的实物模型举反例结合空间几何
基本定理判断各选项正误。
【详解】对于 A，想象一本半打开的书（比如打开成 角），左边的书页是平面 ，右边的书页是平面
，显然这两个平面不垂直，
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在左边书页 上，画一条直线 垂直于书脊（交线），在右边书页 上，取书脊即交线为 ，此时 互
相垂直的，
因此平面 不垂直， 也可以垂直，故 A 错误；
对于 B，想象教室的墙角，地面是平面 ，前面的黑板墙面是平面 ，它们互相垂直，
在地面 上画一条直线 ，让它平行于墙脚线（交线），在黑板墙面 上也画一条直线 ，让它也平行于
墙脚线，此时，直线 和直线 是互相平行的，
因此即使平面 垂直， 可以平行，即可能不垂直，故 B 正确；
对于 C，还是那本半打开的书，左右两页纸代表平面 和 ，它们相交于书脊，肯定不平行，
在左页纸 上画一条横线 平行于书脊，在右页纸 上也画一条横线 平行于书脊，
根据几何公理（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）， 和 都平行于书脊，所
以 和 互相平行，
因此哪怕平面 相交（不平行）， 依然可以平行，故 C 错误；
对于 D，想象教室的天花板是平面 ，地面是平面 ，这两个平面是平行的，
在天花板 上画一条直线 ，方向是南北走向，在地面 上画一条直线 ，方向是东西走向，
直线 a 在头顶，直线 在脚下，方向还互相交叉，它们既不会相交，方向也不一样，这种关系叫作异面
直线，既然是异面，它们自然不平行，
因此平面 平行， 可以是异面的（即不平行），故 D 正确.
10. 将一颗质地均匀的骰子（点数为 ）连续拋掷 3 次，记录向上的点数，则（ ）
A. 三个点数之积大于 的概率为
B. 三个点数之和大于 的概率为
C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为
D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】利用列举法结合古典概型逐项分析即可．
【详解】连续拋掷 3 次，总基本事件数为 ．
对于 A，由 ，所以要三个点数之积大于 的组合只有 和 ，
若三个点数分别为 时，即在这三个点数中选一个为 ，另外两个为 ，共有 种；
若三个点数分别为 时，共有 种，
所以三个点数之积大于 150 的概率为 ，故 A 正确；
对于 B，设三个点数为 ，其和 的范围为 ，
由对称性， 与 的概率相等（因为 ， ， 对应的和为
），
所以 和 的概率相等，所以 ，故 B 正
确；
对于 C，不考虑点数的先后顺序，三个点数能构成等比数列的情况有：
若三个点数全相等，即有 ， ， ， ， ， ，共有 种，
若三个点数全不相等，仅有 ，即这三个点数全排列，共有 种，
所以能构成等比数列的概率为 ，故 C 错误；
对于 D，考虑点数的先后顺序，三个点数 为等差数列等价于 ，
又三个点数之和是奇数的总基本事件数为 ，则在此条件下， 为偶数， 为奇数，
若 时， ，即三个点数为 ，共有 种；
若 时， ，即三个点数为 ， ， ， ， ，共有 种；
若 时， ，即三个点数为 ， ， ，共有 种，
所以能构成等差数列的概率为 ，故 D 正确．
11. 在一块木板上绘制平面直角坐标系，在 四点处钉上四枚钉子，将长
度为 10 的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖
一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹 ，则（ ）
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A. 轨迹 上任意一点到原点距离的最大值为 3
B. 轨迹 上任意一点到原点距离的最小值为
C. 轨迹 的面积大于 20
D. 直线 与轨迹 最多有 2 个公共点
【答案】BCD
【解析】
【分析】由于四边形 为正方形，周长为 8，故细绳还剩下长度 2，所以根据笔尖的轨迹 为 8 段椭
圆弧线拼接而成，以此就可判断 ABCD 四个选项.
【详解】如图所示，
由于四边形 为正方形，正方形周长为 8，而绳环长为 10，故笔尖的轨迹 为 8 段椭圆弧线拼接而成,
分界点为正方形 各边所在直线与椭圆弧线交点，理由如下：
设笔尖为点 ，那么当点 沿着点 到点 运动时，此时轨迹 分为两段： 和 ,
其中第一段为以点 ,点 为焦点的椭圆弧线 ,射线 交椭圆弧线 于点 ，且
;第二段为以点 、点 为焦点的椭圆弧线 ，
且 ，边界为直线 与椭圆的交点 ,与 轴交点为点 ；
当点 沿着点 到点 运动时， 此时轨迹 分为两段： 和 .其中第一段为以点 ,
点 为焦点的椭圆弧线 ,射线 交椭圆弧线 于点 ，
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且 ;第二段为以点 、点 为焦点的椭圆弧线 ,椭圆弧线 与 轴交点
于点 ，且 ；
当点 沿着点 到点 运动时,情况与点 沿着点 到点 运动相同,用相似的方法作出椭圆弧线 和
；
当点 沿着点 到点 运动时, 情况与点 沿着点 到点 运动相同,用相似的方法作出椭圆弧线 和
.
对于 A 选项， 根据轨迹 对称性可知，当笔尖 在 和 上运动时，点 到原点距离最大，
点 为 与 轴交点， , ；其他部分与 、 情况相同，
故 A 错误；
对于 B 选项, 根据轨迹 对称性可知,当笔尖 在以点 ,点 为焦点的椭圆弧线 上运动时，
射线 交椭圆弧线 于点 ，笔尖 运动到点 Q 时，到原点距离最小，
由于 ，椭圆方程为
射线 方程为 ，联立得，
所以， ,笔尖 运动到点 Q 时，到原点距离最小，
,故轨迹 上任意一点到原点距离的最小值为 ，所以,选项 B 正确;
对于 C 选项, 如图所示，轨迹 的面积大于八边形 面积，
由于 ,解得
根据轨迹 对称性可知四边形 为等腰梯形，四边形 为矩形
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，
所以 C 正确；
对于选项 D，直线 是与直线 平行或重合的直线系，
由于轨迹 为 8 段椭圆弧线首尾相接而成，处处光滑，且没有线段部分，
故直线 轨迹 最多有 2 个公共点，所以 D 正确.
第 II 卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知二项式 ，若 ，则正整数 的最小值为
____________．
【答案】4
【解析】
【分析】先通过二项式定理求出展开式各项系数，再根据系数的大小关系列不等式求解正整数 的最小值.
【 详 解 】 根 据 二 项 式 展 开 定 理 ， 将 展 开 得
，
因此对应各项系数为 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ， 因为 是正整数，
解得 ，所以 ，
所以正整数 的最小值是 4.
13. 设圆台的上下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当
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取到最小值时， ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由圆台的侧面积等于上下底面的面积之和求出 的关系式，再用 表示 ，再结合均值不
等式求解.
【详解】设圆台的侧面积为 ， ， ，
由圆台的侧面积等于上下底面的面积之和得 ，
化简得： ，所以 ，
，令 ，
得
，
等号当且仅当 时成立，
此时有 ，即 ，因为 ，所以满足题意，
故当 取到最小值时， .
14. 抛物线 上的 A，B 两点均位于第一象限，点 在 轴正半轴上，满足 ．且
．若 的面积为 9，则点 坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 并设出点 的坐标，借助复数乘法与旋转关系确定坐标关系，再
利用点 在抛物线上列出方程组求解.
【详解】在 中， ，由 的面积为 9，得 ，
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则 ，设 ，不妨令 ，
， 所对复数分别为 ，
可视为 绕点 逆时针旋转 而得，则 ，
因此 ，即 ，由点 都在抛物线 上，
得 ，两式相减得 ，整理得 ，
于是 ，整理得 ，
则 ， ， ，
所以 ，点 坐标为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将条件化简得到 ，由 ， 求出 及 ，即可根据三角形的面积公
式求出 的面积；
（2）由 可得 或 ，在 的条件下求出 和 的取值范围，将
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化为二次函数形式，再求出其值域即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
则 ，
即 ，
化简可得 ．
若 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 是等腰直角三角形，所以 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，所以 或 ．
①若 ，由 可得 ，与 矛盾，故舍去；
②若 ，则 ，
若 ，则 ，解得 ，则 ．
则此时 ，
设 ，则 ，
可知当 时， 取到最小值 ；当 时， ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，
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即 的取值范围为 ．
16. 已知双曲线 的左顶点 到其渐近线 的距离为 ，过右焦点
的任意直线 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且直线 AM，AN 与直线 分别交于 P，Q 两点．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设直线 FP，FQ 的斜率分别为 ，则 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程求出 即可；
（2）直线 ，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出 化简即可得解.
【小问 1 详解】
由渐近线方程为 得 ，
左顶点 坐标为 ，则点 到渐近线的距离 ，
解得 ，则 ，
双曲线 的标准方程为
【小问 2 详解】
设点 ，
依题意知直线 的斜率不为 0，设直线 ，与双曲线 联立，
化简得 ，
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则 ， ，
根据韦达定理，可得
点 坐标为
直线 与直线 的交点 坐标为 ，
同理可得点 .
17. 正项数列 的前 项和 ，且 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知写出 的表达式，与 作差可得到 与 的关系，结合等差数列的定义
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即可证明；
（2）由（1）可求出 的通项公式，再由 与 的关系求出 的通项公式，代入 得
，利用裂项相消即可求解.
【小问 1 详解】
证明：当 时， ，解得 ，
当 时， ，
与 作差可得： ，
数列 是正项数列， ，
，即 ，
，即 ，
所以数列 是等差数列．
【小问 2 详解】
由（1）知数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
当 时， ，
， ，
，
则 .
18. 如图，在平行四边形 ABCD 中， ．现将 沿着 AC 翻折，使点 到达点
的位置，形成三棱锥 ．线段 PB 上有两点 M，N，满足平面 平面 ACM 且平面 平面
ACN．
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（1）当平面 平面 ACP 时，求三棱锥 外接球的表面积；
（2）在翻折过程中，当点 为线段 PB 上靠近点 的三等分点时，求点 到平面 ACP 的距离；
（3）在翻折过程中，是否存在 ，若存在，求平面 ACP 与平面 ABC 所成角的余弦值；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式计算；
（2）通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面角，再用向量投
影公式求点到平面的距离；
（3）用参数 表示线段 上的点 ，结合法向量垂直条件确定 ，再根据向量关系列方程求解二面角的
余弦值.
【小问 1 详解】
的外心为 AB 中点 的外心为 CP 中点 ，
取线段 AC 中点 ，则
设三棱锥 外接球的球心为点 ，则 平面 平面 ACP， ．
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【小问 2 详解】
以点 为原点， 的方向为 x，y 轴正方向，建立空间直角坐标系．
，设二面角 的平面角为 ，则 ．
设平面 ACP 的法向量为 ，平面 ACN 的法向量为 ，
由 ，
解得 ．
由平面 平面 ACN，可得 ，解得 ．
点 为线段 PB 上靠近点 的三等分点，可得
由 ，解得
即二面角 的平面角为
此时
点 到平面 ACP 的距离
【小问 3 详解】
已知 ，点 横坐标为 1．
点 在 yz 平面上，所以点 横坐标为 0．
可得 ．
设 ，
由（2）得平面 ACN 的法向量 ．
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由 ，解得
即 ．
根据条件 ，得 ，解得
在翻折过程中，存在 ，此时平面 ACP 与平面 ABC 所成角的余弦值为
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最值；
（2）讨论方程 解的个数；
（3）若方程 存在两个非零解 ，且满足 ，证明： ．
【答案】（1）最大值 ，无最小值．
（2）当 ，方程有一个解；当 ，方程有三个解．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对 时的函数 求导，根据导数符号判断单调性，进而得到函数的最值；
（2）利用奇函数性质将方程解的问题转化为 时的情况，构造辅助函数 ，通过导数分析其单调性，
分 和 两种情况讨论零点个数，再结合奇函数对称性得到方程总解数；
（3）由（2）的结论设方程的两个非零解 ， ，将待证不等式转化为 ，利
用方程解的条件消去参数 ，构造新函数 并通过导数判断其符号，从而证明不等式.
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【小问 1 详解】
当 时， ，求导可得
函数 在 单调递增，在 单调递减．
函数有最大值 ，无最小值．
【小问 2 详解】
函数 是奇函数， 始终是方程 的一个解．
不妨令 ，
，可化简为
构造函数 ，
求导可得 ，
，令 ，则 ，
①当 恒成立，因此 在 单调递增．
故 在 单调递增，故 ．
即方程 在 无解．
根据函数 是奇函数可知在 也无解.
②当 ，由 ，可得 在 单调递减，在 单调递增．
由 可得，存在 使 ．
当 单调递减；当 单调递增．
，函数 在 有一个零点．
即方程 在 有一个解．
根据函数 是奇函数可知在 有另一个根．
综上，当 ，方程有一个解；当 ，方程有三个解．
【小问 3 详解】
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由（2）可得此时 ，且 ．
．
即证： ．
因为 是方程 的解，代入可得 ．
消 可得 ，
设 ，
，
函数 在 单调递增，所以 ．
又因为 ，所以 ，
即原不等式得证.
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