2026年甘肃庆阳市中考一模数学试题及答案

这是一份2026年甘肃庆阳市中考一模数学试题及答案，文件包含专题18一次函数与方程组不等式的九类综合题型压轴题专项训练数学新教材人教版八年级下册原卷版pdf、专题18一次函数与方程组不等式的九类综合题型压轴题专项训练数学新教材人教版八年级下册解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
1.本试卷共120分．考试时间120分钟．
2.请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列实数中，比2小的数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
2. 南梁革命纪念馆位于甘肃省庆阳市华池县南梁镇，是为纪念老一辈无产阶级革命家创建的我国西北第一个红色政权——陕甘边区苏维埃政府而建立的．纪念馆总占地面积约160000平方米，数据160000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法要求写成的形式，满足，为整数，等于原数的整数位数减．
【详解】解：，
∴数据160000用科学记数法表示为．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误．
故选：B．
4. 如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图．
根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断．
【详解】解：它的俯视图是
故选：D
5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
6. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
7. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8. 奥林匹克精神强调“更快、更高、更强——更团结”，中国体育代表团在夏季奥运会上不断突破，展现了中华民族自强不息的精神风貌．如图，这是1996年至2024年中国夏季奥运会金牌数统计图，下列结论错误的是（ ）
A. 2008年，中国获得金牌48枚
B. 2024年，中国获得金牌40枚
C. 2024年金牌数是1996年的2.5倍
D. 1996年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、2008年，中国获得金牌48枚，说法正确，该选项不符合题意；
B、2024年，中国获得金牌40枚，说法正确，该选项不符合题意；
C、1996年，中国获得金牌16枚，，
则2024年金牌数是1996年的2.5倍，说法正确，该选项不符合题意；
D、1996年至2008年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；2008年至2016年，中国夏季奥运会金牌数逐年下降；2016年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；原说法错误，该选项符合题意．
9. 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价（单位：元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得的最大利润是（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式得到二次函数的开口方向和对称轴，结合二次函数的增减性即可在给定范围内求出最大值．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，取得最大值，
将代入解析式得
即一周可获得的最大利润是1550元．
10. 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两部分计算的关系式：①当点在上时，易得的关系式，的面积关系式为一个一次函数；②当点在上时，底边不变，表示出的关系式，的面积关系式为一个开口向下的二次函数．
【详解】解：点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，
到的时间为：，
分两部分：
①当时，如图1，此时在上，
，
②当时，如图2，此时在上，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查提公因式法分解因式，掌握添括号法则是解此题的关键．
12. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】去分母，将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到原方程的解．
【详解】解：方程两边同乘，得 ，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
则是原分式方程的解．
13. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质得k-3＜0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得k-3＜0，
解得k＜3．
故答案是：k＜3．
【点睛】考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
14. 如图，在平行四边形中，O是对角线的交点，，且，，则的长是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出，由平行四边形的性质可得出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
15. 如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方．”其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，．若“矩”的边，边，则树的高为．
【答案】
【解析】
【分析】由已知证明，得到，代入已知数据即可求解．
【详解】解：由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
16. 我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，中的______．
【答案】
【解析】
【分析】观察前面四幅图可得相关的个数规律，据此规律求解即可．
【详解】解：根据题意，可得规律如下：
、、、、、，
∴当时，，
故中的．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的除法法则（）化简该式；再将​化为最简二次根式，再将第一步得到的结果也化为最简形式，最后需合并同类二次根式．
【详解】解：原式．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先依次求出两个不等式的解集，再取公共部分为不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式组，
解不等式①：，
解得；
解不等式②：，
解得；
故不等式组的解集为．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算．
【详解】解：
．
20. 数学家笛卡尔于1596年出生于法国，他在数学研究工作中关注那些需要作特定长度的几何问题，在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以完成四种算术运算和开平方”笛卡尔用尺规求一个数的算术平方根的方法如下：
如图：已知，线段的长为，延长至点，使，点为的中点．
①以的中点为圆心，以的长为半径作圆；
②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
③分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交线段上方于点；
④连接交的上半部分于点，即得垂线段．
所得的长是的长的算术平方根．
请你根据以上步骤在图中完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据所给作图步骤作图即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
21. “高天厚土看庆阳”是甘肃庆阳文旅的宣传标语．小明、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取庆阳四个景点（.周祖陵；.北石窟寺；.南梁红色旅游景区；.马嵬驿庆州古城）中的一个景点游玩，四支签分别标有，，，．
（1）小明抽一次签，他恰好抽到景区的概率是______；
（2）若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或画树状图的方法，求小明、小红抽到同一景点的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用概率公式计算即可；
（2）依题意，画树状图，得出一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：小明抽一次签，共有种可能性，满足题意的可能性只有一种，
故概率为；
【小问2详解】
解：画树状图如下所示．
一共有种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有种，
∴小明、小红恰好抽到同一景点的概率为．
22. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ，
【答案】广告牌CD的高约为7.4米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，，米，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，米，
（米，
，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船发射取得圆满成功，航天员乘组顺利进驻中国空间站．为增加学生对航空航天知识的知晓率，某校组织八、九年级学生进行了航空航天知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A.，B.，C.，D.），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82
八、九年级抽取学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____．
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的航空航天知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）若该校八年级有600人，九年级有800人参加本次竞赛活动，请估计该校八、九年级参加竞赛的学生中共有多少人成绩为优秀．
【答案】（1）70；80；55
（2）九年级成绩更好，因为九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高
（3）估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人．
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义和优秀率计算公式依次求解即可；
（2）根据平均数、众数、中位数、优秀率进行比较即可；
（3）分别计算两个年级的优秀人数，再相加．
【小问1详解】
解：∵30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100中70出现的次数最多，
∴；
由条形图知，九年级中A等级有6人，
∵B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82，
将数据从高到低排列后，第10个和第11个数据都是80，
∴九年级数据的中位数为，
∴；
∵九年级80及以上的人数有（人），
∴九年级优秀率为，
∴；
【小问2详解】
解：九年级成绩更好；
理由：九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高；
【小问3详解】
解：（人），
（人），
（人）
∴估计该校八、九年级知识竞赛成绩为优秀的总人数为620人．
24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接，若，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可；
（2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵的图象过点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为：．
【小问2详解】
解：∵轴于点D，，
∴，
∴将代入得，
∴，
将代入得，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，为半的直径，点C为半上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交半于点E．．
（1）如图1，连接，求证：平分；
（2）如图2，若，，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和切线的性质得出，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质推得结论；
（2）如图②中，连接，交于点H．证明四边形是矩形，推出，，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则平分．
【小问2详解】
解：如图，连接，交于点H，
∵，
∴，
∵是直径，是切线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
26. 如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，，
（1）写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（3）如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1），，理由见解析
（2），
（3），，理由见解析
【解析】
【分析】（1）延长和交于点，连接、，根据正方形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，通过证明，得到，，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论；
（2）延长和交于点，同理（1）的方法证明，得到，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论；
（3）延长交于点，连接、，同理（1）的方法证明以及，进而推出是等腰直角三角形，即可得出结论．
【小问1详解】
解：，，理由如下：
如图1，延长和交于点，连接、，
∵正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
即，；
【小问2详解】
解：如图2，延长和交于点，
由（1）得，是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
由旋转的性质得，，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
即，；
【小问3详解】
解：，，理由如下：
如图3，延长交于点，连接、，
由（1）得，是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形，
∴，，
由旋转的性质得，三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
即，．
27. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．P为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1所示，当时，求点P的坐标；
（3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）点P的坐标为
（3）①m的值为；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设则，根据求出点Q的坐标，然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交BC于点T，求出BC解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍去），，
∴点P坐标为；
【小问3详解】
解：①如图2，作，且使，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴．
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年级
71
a
70
九年级
71
80
b